第50回　算数問題　（3月5日〜4月4日）


隣り合った数字が同じである箇所が３箇所あるような７けたの数字はいくつあるでしょうか

ここで「隣り合った数字が同じである箇所」というのは
　「各位の数字について　その1つ上の位に書いてある数字と同じである箇所」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と考えてください

たとえば　1122911　　9999876　5554454　はすべてこの条件にはいります。

解１

一番大きな位の数（100万の位）から考えて　その数字に何を足したら次の位になるか考えながら
下の位の数字を決めていきます。
たとえば100万の位が３なら　４を足すと７　さらに　５を足すと　2（足し算すると12ですが　２と考えます）
このように考えると
３から始まって　足す数字を　4　5　0　2　0　0　とすると　3722444　のように　求めたい数字が作れます。

といことは　1から9の数字からはじまって　その数に足す数字を6つ考えるのですが　そのうち３つは0　3つは1から9
であればよいので　03つと　それ以外の数字3つの並べ方が何通りあるか考えればよいことになります。

3つの0の場所のとりかたは　C(6,3)=20通りあります　
たとえば**00*0のようになったとき　*のところに入る数字の場合の数は　9×9×9　通り
最初の数字が9通りですから　答えは　20×9×9×9×9＝131220　通り　あることがわかります。

解2
　まず４桁の数字で　隣り合った数字がすべて異なるものを考えます。
たとえば　4567であるとしたときに　この間に3つの○を書きます
　45○○6○7
この○の数字を○の前にある数字に置き換えると　4555677のように　求める数字が得られます。

最初に　4桁の数字で隣り合った数字がすべて異なるもの　は　9×9×9×9通り
○の入れる場所は　４桁の数字を●***とした時に　***と○○○の並べ替えと同じだけあるので
6!/3!3!=20通り
よって　9×9×9×9×20＝131220　通り　となります。