Dチームと Pチームが試合をしました。先に６勝したほうが勝ちです。
第１問
(1) Dチームが６勝して勝った
(2) Dチームは連敗したことがある（何回そういうことがあったかは不明）
(3) Dチームは最大で２つ負け越していたときがある（何回そういうことがあったかは不明） ３つ以上は負け越していないということ
このような条件の下でDチームが勝つのは何通りありますか。
第2問
(1) Pチームが６勝して勝った
(2) Pチームは最大で２連敗したことがある（何回そういうことがあったかは不明） ３連敗以上はしていないということ
(3) Pチームは最大で２つ負け越していたときがある（何回そういうことがあったかは不明） ３つ以上は負け越していないということ
このような条件の下でPチームが勝つのは何通りありますか。
解答
問題１
図のように考えます×は通れない道 黒丸のどれかは必ず通るということです。
たとえば Dで初めて２つ負け越すとすると その前の２試合では連敗していることがわかります
(図の赤い線がそうです）
同様に Cで初めて２つ負け越すとすると その前の２試合では連敗しています
Bで初めて２つ負け越すとするとその前の２試合では連敗しています。
Aで初めて２つ負け越すとすると その前の２試合では連敗しています。
つまり (3)の条件をみたすときは かならず(2)の条件を満たしていることがわかります。
よって 左下から右上に進む時に A,B,C,Dの少なくとも１点を通る場合の数を求めるとよいことになります
それは 全体から A,B,C,Dを通らない時を引けばいいわけですから
全体の場合の数
207+117+55+21+6+1=407通り
A,B,C,Dを通らない場合の数
132+90+48+20+6+1=297通り
よって 407-297=110通り となります
問題2
問題１の解答を利用して
図のように考えます今度は110通りのうち３連敗以上している場合の数を除きます３連敗以上するのは ５つの縦の線上のどこかで生じます
１の線の場合は 負負でAの点まで進み 勝勝勝勝勝 このあと赤い線をたどって 負負負 勝 しかありません
１通り
2の線の場合は 負負でAの点まで進み 勝勝勝勝 このあと赤い線をたどって 負負負 勝勝 しかありません
１通り
3の線の場合は 最終的には図のEから３連敗します。
EからOまでもどる道は 10通りです。
４の線 の場合その１
FからCまで３連敗以上しているとき
3×4=12 通り
４の線の場合その2
上で数えていない場合の道順
１通り
5の線の場合その2
14通り
以上から ３連敗以上しているのは
１+１+10+12+1+14=39通り
よって答えは 110-39=71 通り
問題２の別解
たとえばこのような場合です このようなものが ３通りありますから
Bのとき
Cのとき