第33回　 問題　（10月5日〜11月4日）　

1から１０0０までの整数を小さい順に並べ　次のようにその数字に丸をつけていきます。

最初に１の倍数に丸をつけていきます　丸をつける数字は　1,2,3,4,5,6…,１０００
次に２の倍数に丸をつけていきます　　丸をつける数字は　2.4.6.8.10…,１０００
次に３の倍数に丸をつけていきます　　丸をつける数字は　3,6,9,12,15,...999
　…（以下4の倍数　５の倍数　と同様に丸をつけます）
最後に1000の倍数に丸をつけます　　丸をつける数字は　1000

このとき　丸が10個ついている数字は何個で　そのような数字の最大の数字はいくらでしょうか。


たとえば　1,2,3,4,5　のときは

となります。

解答

数字A　に　いつ○が付くかを考えます。丸が付くのは数A　が　ある数の倍数になっているときです。
逆に言うと　ある数が数Aの約数になっているときに○が付きます。
つまり　Aに付く○の個数は　その数の約数の個数であることがわかります。

Aを素因数分解して　A=　p^a×q^b×r^c…となったときに　その約数の個数は　よく知られているように
(a+1)(b+1)(c+1)...個となりますから　Aはp^9　または　p^1×q^4の形となっていることがわかります。

(1)　p^9のとき
�@　p=2とすると　2^9=512
�A　p>3とすると　A>=3^9=19683　となり　該当する数はない

(2)　p^1×q^4のとき
�@　q=2のとき　　A=p×2^4=16ｐ=<1000　からｐ＜62.5
　　p=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61　の17個
　　最大は　61×2＾4=976
�A　q=3のとき　A=p×3^4=81ｐ=<1000　からｐ＜12.3...
　　p=2,5,7,11　の４個
　　最大は　A=11×3^4=891
�B　q>5のとき　A>=2×5^4=1250となり　条件を満たす数はない

以上より　個数は22個　最大の数は976となります　　

解答２　浜田　明巳さん　

　エクセルのマクロで解きました．（ダウンロード可能）
　答は２２個，最大値９７６です

　Option Explicit
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Dim j1 As Integer
Dim j2 As Integer
For j1 = 1 To 1000
Cells(j1, 1).Value = 0
Next j1
For j1 = 1 To 1000
For j2 = j1 To 1000
If j2 Mod j1 = 0 Then
Cells(j2, 1) = Cells(j2, 1) + 1
End If
Next j2
Next j1
Cells(1, 3).Value = 0
For j1 = 1 To 1000
If Cells(j1, 1).Value = 10 Then
Cells(1, 2).Value = j1
Cells(1, 3).Value = Cells(1, 3).Value + 1
End If
Next j1
If Cells(1, 3).Value = 0 Then
Cells(1, 3).Value = "丸が10個ついている数字はありません"
End If
End Sub