第32回 問題 （9月6日〜10月4日）
１から１００までの整数を全部かけたときに１の位から順に０の個数はいくら続くでしょうか。また 初めて0でない
数字が出てきたときにその数字はいくらでしょうか。
たとえば 1234567890000となったとしたら答は4,9となります。
解答（答が小学生向きでありません）(
答
２４個 ４
解１
１〜100までの積をAとします。
A=(1×2×3×4×６×7×8×9)×(11×12×13×14×16×17×…×19)×(21×…29)…(91×99)
×5^16(1×2×3×4×6×7×8×9×11×12×…×19)
×25＾4(１×2×3×4)
より A/(5^24)=(1×2×3×4×６×7×8×9)^11×(１×2×3×4)
＝6＾11×4 (mod 10)
=4 （mod 10)
一方 2^24=6 （mod10)
求めるのはB=A/(5^24)÷(２^24)の１の位なのですが
Bに2^24（１の位は６）をかけた１の位が４になるのですから
Bが偶数であることはあきらか（かける２の数が多い）なので
Bの１の位が2,4,6,8であり これに2^24をかけた１の位が2,4,6,8であるから
Bの１の位は４となります。
解２
次の表の数字すべてをかけることになります
1 2 3 4 5△ 6 7 8 9 10○
11 12 13 14 15△ 16 17 18 19 20○●
21 22 23 24 25△△ 26 27 28 29 30 ○
31 32 33 34 35△ 36 37 38 39 40 ○●●
41 42 43 44 45△ 46 47 48 49 50○△
51 52 53 54 55△ 56 57 58 59 60○●
61 62 63 64 65△ 66 67 68 69 70 ○
71 72 73 74 75△△ 76 77 78 79 80○●●●
81 82 83 84 85△ 86 87 88 89 90○
91 92 93 94 95△ 96 97 98 99 100○○
上の表の数を素因数分解して
△の数からは５を抜き取り ○のところからは10を抜き取り さらに●のところからは２を抜き取る
1 2 3 4 1 6 7 8 9 1
11 12 13 14 3 16 17 18 19 1
21 22 23 24 1 26 27 28 29 3
31 32 33 34 7 36 37 38 39 1
41 42 43 44 9 46 47 48 49 1
51 52 53 54 11 56 57 58 59 3
61 62 63 64 13 66 67 68 69 7
71 72 73 74 3 76 77 78 79 1
81 82 83 84 17 86 87 88 89 9
91 92 93 94 19 96 97 98 99 1 ×5^6×10^18
10の倍数にするために表のなかからさらに64=2＾6を抜いて
1 2 3 4 1 6 7 8 9 1
11 12 13 14 3 16 17 18 19 1
21 22 23 24 1 26 27 28 29 3
31 32 33 34 7 36 37 38 39 1
41 42 43 44 9 46 47 48 49 1
51 52 53 54 11 56 57 58 59 3
61 62 63 13 66 67 68 69 7
71 72 73 74 3 76 77 78 79 1
81 82 83 84 17 86 87 88 89 9
91 92 93 94 19 96 97 98 99 1 ×10^24
この表のすべての積の １の位に着目すればいいことになります
１×２×３×６×７×８×９=４ なので 横に1,2,3,6,7,8,9をセットにしてかけることにする
１の位の数は 10を法として
4^10×4^9×(３×７×９×３×３×７×9)×(３×３×７×９)
↑４の段の残った数 ↑５の段の残った数 ↑10の段の残った数
=6^5×6^4×４×３×７ （4^2=6)
=6×４×３×７ （６は何回かけても６）
=４
解3(浜田 明巳さん）
次の２通りのエクセルのマクロで解きました．０は２４個，初めての０以外の数は４です．
Option Explicit
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Range("A1").Select
Dim a(256) As Integer
Dim j As Integer
Dim jj As Integer
a(0) = 1
a(1) = 1
For j = 2 To 256
a(j) = 0
Next j
For j = 1 To 100
For jj = 1 To a(0)
a(jj) = a(jj) * j
Next jj
jj = 1
While jj <= a(0)
If a(jj) >= 10 Then
a(jj + 1) = a(jj + 1) + a(jj) \ 10
a(jj) = a(jj) Mod 10
If jj = a(0) Then
a(0) = a(0) + 1
End If
End If
jj = jj + 1
Wend
For jj = 1 To a(0)
Cells(1, a(0) - jj + 1).Value = a(jj)
Next jj
Next j
j = 1
jj = 0
While j <= a(0) And jj = 0
If a(j) = 0 Then
j = j + 1
Else
jj = 1
Cells(2, 1).Value = j - 1
Cells(2, 2).Value = a(j)
End If
Wend
Range("A2").Select
End Sub
Sub Macro2()
Dim a(1) As Integer
Dim j1 As Integer
Dim j2 As Integer
Dim j3 As Integer
Dim j4 As Integer
Dim j5 As Integer
For j1 = 0 To 1
a(j1) = 0
Next j1
j5 = 1
For j1 = 1 To 100
For j2 = 0 To 1
j3 = j1
j4 = -2 * (j2 = 0) - 5 * (j2 = 1)
While j3 Mod j4 = 0
j3 = j3 / j4
a(j2) = a(j2) + 1
Wend
Next j2
j5 = (j5 * j3) Mod 10
Next j1
MsgBox "0の個数=" + Str(Application.Min(a(0), a(1))) + ", 初めての0以外の数=" + Str(j5), vbOKOnly
End Sub