第31回　 問題　（7月5日〜8月4日）　

ある７桁の整数を９倍するとその数字のならびが逆になりました。この７桁の数を求めてください。

たとえば　１２３４５６７を９倍すると７６５４３２１となった　という意味です。

解答

数をABCDEFGとします。Aが２以上であるときは　９倍すると７桁になりますからA=1であることがわかります。
すると９倍した時の一番上の位の数が９であることもわかります。　9倍する前の数を考えると　G=9ということがわかります。
１BCDEF９という形の数です。
ここで9倍したときの数が６桁ですから　9999999÷9=1111111　から　B=1またはB=0です。

B=1のとき
１１CDEF９
×　　　　９
９９... 　　　となるので　Fのところには９がはいるはずですが　F=9とのき１１CDE９９を９倍すると10の位は１にはなりません
よってB=0であることがわかります。

B=0のとき
１０CDEF９
×　　　　９
９... 　　０１　となるので　F=8であることがわかります

　　１０CDE８９
＋　９８EDC０１
　 １０CDE８９０ となるので　100の位を考えると　C+E=８または　１８
１万の位と１０万の位を考えて　C+E=８のときはC=8　E=0　　　C+E=18のときは　C=D=9

C=8　E=0のとき　９８０Ｄ８０１は９の倍数なので　Ｄ＝１
このとき　1 081 089 * 9 = 9 729 801　であるから題意をみたさない　

C=D=9のとき
　　１０９D９８９
＋ ９８９D９０１
　１０９D９８９０ 　となるDは９であることはあきらか
　

以上より　1099989が求める答になります。

発展問題
４桁のときは１０８９　５桁のときは　１０９８９　　６桁のときは　１０９９８９　となります
8桁のときは　10891089か　10999989を予想しています。
このように1099...89の形か1099...89の形の数をいくつかくっつけた数しかない　という証明はできるのでしょうか。
または　反例があるのでしょうか。　　検証していません。