第30回　 問題　（6月9日〜7月4日）　



上の図のように　直径ABの長さが12cmの半円があります。この円弧AB上に２点P,Qをとり線分PQの中点（真ん中の点）を
Mとします。点Pと点Qをいろいろ変えたときに　点Mが存在できる領域の面積を求めてください。
必要なら円周率を3.14として計算してください。

解答

1　まず　円全体で　Pを固定して　Qを円周上を一周させたときに　Mの軌跡はどうなるか考えます

Pを中心とする相似の縮小になるので　図のように　O　P　を直径とする円を描くことがわかります

２　次に半円ではどうなるか考えます

Pを固定してQをPからBまで移動すると　MはOPを直径とした円周上を動きますがQはBでストップし
Mは　図の２つの円の交点Nでストップします。

QがPからAまで移動したときも同様です。ですからMの存在範囲は上の円弧の部分となります。

３　Pが動くと　この円弧も動きます

4　以上から　点Mの移動できる領域は

上のようになるので

1/2×6×6×3.14-3×3×3.14=9×3.14=27.26　となります


別解　中学の知識を使って


上の図のように補助線を引きます
点Pについてだけ考えると
角OMP=90度より　角AMO<90度　つまりＭはOAを直径とする半円の外であることがわかります
逆にOAを直径とする円の外に点Nをとるとき　角ONA<90度　より　角ONP=90度となるように
点Pを弧AB上にとることができる。
つまりMはOAを直径とする半円の外にある任意の点となる。
点Qについても同様に考えると　Mの存在範囲は上の解の4で示された領域になることがわかります。