第29回　 問題　（5月5日〜6月4日）　

　

上の図のように三角形状に円が並んでいて　その円の中には規則的に数字が書かれています。
（数字の書いてある円は下のほうにずーっと並んでいます）
このときある円の周りには６個の円があって　その円に書かれている６個の数の和が98765432となっていました。
このとき　６つの円に囲まれたまん中の円に書かれている数はいくらでしょうか。

 たとえば　上の図で　5の周りには２　３　４　６　８　９の数が書かれた円があり　その数の和は　３２となっています。

解答

（１）最初に列の右端の数字の関係を考えます。上のように　
　ある列の右端の数をA、その下の右端の数をX、さらにその下の列の数を右からB,Cとします。
Xの列の個数　と　B,Cが書かれている列の左端からBまでの個数が等しいことから　AとBの真ん中の数がXであることから
AとBの和はXの２倍であることがわかります。
　


（２）次にたくさん並んだ数字の中のある数字Xが上のように６つの数字でかこまれているとします。
AとXとBの位置関係は(1)でのAとXとBの位置関係と同じです。というのは(1)のA,X,Cを右に１つづつ
ずらしたことになるからです。つまりここでもAとBの和はXの２倍となります。
よって　AとCの和はXの２倍より１大きく　BとDの和もXの２倍より１大きいことがわかります。
　また　明らかに　EとFの真ん中の数がXですからEとFの和はXの２倍となっています。

以上のことからXの周りの数の和は　Xの６倍より２大きい数になりますから
xの数は　(98765432-2)÷6=16460905であることがわかります

（３）
さて　実際に16490905が真ん中にあり　両端にないことを調べなくてはいけません。
このあたりの検証を算数でやってみましょう　

１からnまでの和が　n（ｎ+1）/2ですから　16460905の２倍の32921810がn(n+1)になるかどうかです。
n(n+1)をn^2に近似して　5500付近から大雑把に検討すると
　5500^2=30250000　5600^2=31360000　5700＾2＝32490000　5750^2=33062500
5740^2=32947600　

5739*5740=32941860
5738*5739=32930382
5737*5738=32918906

となるので　16460805は　5738列目の途中の数であることがわかります。