第22回　 問題　（10月6日〜11月4日）
今回は２問出しましょう　完全シャッフルの問題です。

ジョーカーを除いた52枚のトランプについて次の操作を繰り返します。
A:52枚のカードの最初から13枚ずつとってカードの順を変えないで４つの山を作ります。その山を順に山１,山２,山３、山４と名づけます。
B:山１､山２、山３,山４の一番上のカードを順に取り,取ったカードは手札としてとった順に並べます。この操作を13回繰り返します。
上のA,Bの操作を終えるとトランプが５２枚、手元に並ぶことに成ります。これで1回と数える事にします。
何回の操作をしたときにカードの並び順は元の並び順と同じになるでしょうか。

今度はトランプ39枚（どれでも良い）のみを使って同様に行います。
A:39枚のカードをはじめから13枚ずつとってカードの順を変えないで3つの山に分けます。その山を順に山１,山２,山３と名づけます。
B:山１､山２、山３の一番上のカードを順に取り,取ったカードは手札としてとった順に並べます。この操作を13回繰り返します。
上のA,Bの操作を終えるとトランプが39枚、手元に並ぶことに成ります。これで1回と数える事にします。
何回の操作をしたときにカードの並び順は元の並び順と同じになるでしょうか。
以上２つの答えを送付してください。

解答　　4,18
便宜上先頭を0番目とします。この魔法があると今後の説明が簡単になるのです。

カードの行き先を考えます。
0から12までの場所のカードは　0,4,8,…　　k→4kへ移動します。
13から25までのカードは　1,5,9,…　　　　　　k→4（k-12)-3=4k-51へ移動します。
26から38までのカードは　2,6,10,…　　　　　k→4(k-25)-2=4k-102へ移動します。
39から51までのカードは　3,7,11…　　　　　k→4(k-38)-1=4k-153へ移動します。
ここで　102=51×２　153=51×3ですから　このシャッフルは
k→4k(mod51)であることがわかります。(51を除く）
つまり問題は　　任意のk=0,1,...50に対して
(4)^n×k=k　(mod51)となるnの最小値を求めることに帰着します。
　さらにkが任意であることから　　4^n=1（mod51)を解きます
1→4→16→64=13→52=1ですから　４回が答えになります。

この考え方はどのような時にも使えます。

３つの山の時を考えましょう。
カードの行き先を考えます。
0から12までの場所のカードは　0,4,8,…　　k→3kへ移動します。
13から25までのカードは　1,5,9,…　　　　　　k→3（k-12)-2=3k-38へ移動します。
26から38までのカードは　2,6,10,…　　　　　k→3(k-25)-1=3k-76へ移動します。
ここで　76=38×２　ですから　このシャッフルは
k→3k(mod38)であることがわかります。（38を除く）
つまり問題は　　任意のk=0,1,...37に対して
(3)^n×k=k　(mod51)となるnの最小値を求めることに帰着します。
　さらにkが任意であることから　　3^n=1（mod38)を解きます
1→3→9→27→81=5→15→45=7→21→63=25→75=-1ですから　18回が答えになります。

これでは算数の範囲を超えてるようですが　実際にトランプを用意して並べ替えるとできるはずですから
算数の問題といたしました。
私はエクセルの表を作って調べました。(*^_^*)