第16回　 問題　（4月5日〜5月4日）

次の式を満たす正の整数解(x,y,z)が存在するような　正の整数(a,b,c)　の組み合わせは何通りあるでしょうか。　

abcｘｙｚ=2(ax+ｂｙ+ｃｚ)

解答
掛け算の記号は省略いたしましたm(__)m

たとえば　(a,b,c)=(1,1,1)なら　(x,y,z)=(2,2,4)という答えがあります。
(a,b,c=(4,4,4)なら　答えはありません。

解説
最初に　abcxyz=2(ax+by+cz)でax=A、by=B、cz=C、とおいて　A≦B≦Cの条件のもとで解を求めます。
2C<2(A+B+C)≦6CですからABC=2(A+B+C）から　2C<ABC=2(A+B+C)≦6Cとなり　2<AB≦6となります。
AB=6は　A=B=Cのときに限りますから　この場合はありません。よってAB=3、4、5となります。
よって　(A,B)=(1,3),(1,4),(2,2),(1,5)となります。
　(A,B)=(1,3)のとき3C=2(1+3+C)から　C=8
　(A,B)=(1,4)のとき4C=2(1+4+C)から　C=5
　(A,B)=(2,2)のとき4C=2(2+2+C)から　C=4
　(A,B)=(1,5)のとき5C=2(1+5+C)から　C=4これはA≦B≦Cの条件に合わない。
以上より(A,B,C)=(1,3,8),(1,4,5),（2,2,4)

整数a,b,cを決めたときに整数解x,y,zが存在するには　ax=A、by=B、cz=Cとしたときに
上の3つのペアのどれかにならなくてはいけません。
つまり　a,b,cがA,B,Cの約数になっていなければなりません。
そこで約数のペアがいくらあるかを調べます（今のところa,b,cは順不同　たとえば1,1,2と　1,2,1は　同じものとみなして　で考えます）

(A,B,C)=(1,3,8)のとき　a=1　b=1,3　c=1,2,4,8
　(a,b,c)のうち同じ数が３つのタイプ　１つ　　　(1,1,1)
　　　　　　　　同じ数が２つのタイプ　4つ　　　(1,1,2)　(1,1,3)など　
　　　　　　　　３つとも数が異なるタイプ3つ　　(1,3,2)など　　

(A,B,C)=(1,4,5)のとき　a=1　b=1,2,4　c=1,5
　このうち上で考えたもの以外は　5を含むタイプで
　(a,b,c)のうち　同じ数が２つのタイプ　1つ　　　(1,1,5)　
　　　　　　　　３つとも数が異なるタイプ2つ　　(1,2,5)など

(A,B,C)=（2,2,4)のとき　　a=1,2　b=1,2　c=1,2,4
　このうち上で考えたもの以外を考えると
　(a,b,c)のうち　同じ数が３つのタイプ　１つ　　　(2,2,2)
　　　　　　　　同じ数が２つのタイプ　2つ　　　(2,2,1)　など　
　　　　　　　　　３つとも数が異なるタイプ1つ　　(1,2,4)

以上から(a,b,c)の組み合わせの数は順序も考慮に入れて(たとえば　(a,b,c)=(1,1,2)と(1,2,1)は区別します）
考えます。

同じ数が３つのタイプ　　　2つ　　　２通り
同じ数が２つのタイプ　　　7つ　　　7×3=21通り
３つとも数が異なるタイプ　6つ　　6×3!=36通り
2+21+36=59通り