第15回　 問題　（3月5日〜4月4日）

次の式を満たす整数a,b,c,dを求めてください　ただし　0<=a<2　　0<=ｂ<3　0<=c<4　　0<=d<5とします

また、　「！」の記号は　1からその数までの整数を掛けた数を意味します。
例　4!=1×2×3×4=24

解答

実はどんな真分数も、1!　2!…(分母の数)!　を分母とする　分数の和に一意的に書くことができます。
証明に興味がある方は証明してください。

この問題では　1/2!>2/3!　1/3!>3/4!　1/4!>4/5!となっている事に気がつけばいいでしょう
3/5から1/2!=1/2を何回も引けるだけ引きます
3/5-1/2=1/10
1/10から1/3!=1/6を何回も引けるだけ引きます（この問題では引けません）
1/10から1/4!=1/24を何回も引けるだけ引きます。
　　1/10-1/24=7/120　　7/120-1/24=2/120
2/120から1/5!=1/120を何回も引けるだけ引きます。もちろん2回引けますね。
ということで
　　3/5=1/2+1/24+1/24+1/120+1/120となり
a=1　b=0　c=2　d=2が正解です

別解

両辺を5!　倍して
3×4×3×2=a×5×4×3+b×5×4+c×5+d
左辺を5で割った余りは2であるから　d=2
a×5×4×3+b×5×4+c×5=3×4×3×2-2=70
両辺を5で割ると
a×4×3+b×4+c=14
右辺を4でA割った余りは2より　c=2
a×4×3+b×4=14-2=12
両辺を4で割ると
a×3+b=3
右辺を3で割ると余りが0
よって　b=0　a=1となります。