第14回　 問題　（2月5日～3月4日）

辺ABと辺DCが平行な台形があります
辺DCの長さは辺ABの長さの半分です。
三角形ABCは直角二等辺三角形となっています。
Bから辺ADに垂線を下ろしその足をHとします。
このときBHは対角線BDの長さの何倍となっているでしょうか。

みなさんのコメント集へ

解答　下の図のように正方形の2つの辺CE,AEの中点D,E結ぶ時に交点Pが
実は上の図の点Hになっていることがわかります。
上の図のHを下の図のPで読み変えて読んでください。

このとき　相似な直角三角形たくさん見つかりますが、その直角をはさむ２辺の比は1:2ですから
三角形APFでPF=１とすると　AP=2　
三角形EPAで　AP=2より　BP=4
BD=BF=4+1=5となりますから　BHは対角線BDの4/5倍となります。

所で、このときDP=AD-A=5-2=3となります。
三角形BPDは3:4:5の直角三角形になっているんですよね　びっくりしました。(~_~;)


別解　
AB=2とします
三角形ABD=1/2×2×2=1/2×AD×BPから　AD=AB=√5を代入して
BP=(４√5)/5　より　BP=4/5BDとなります。



Banyanyanさんの解答　図形は同じ処理をしてますがその後の比の出し方がいいなあ
と思ったので掲載いたします


ＣＤを延長して、ＡからＣＤに垂線を下ろし、その足をＥとすると
四角形ＡＢＣＤは正方形である。
△ＡＤＥと△ＢＤＣは合同（証明略）。また、
∠ＥＡＨ＋∠ＨＡＢ＝∠ＨＡＢ＋∠ＨＢＡ＝９０°、∠Ｅ＝∠Ａ＝９０°より、
△ＢＦＡも合同。△ＢＡＨは相似。
ＡＦ＝ＥＤ＝ＣＤ＝１／２ＡＢ
ＢＦ＝ＡＤ＝ＢＤ

解き方①
ＢＨ：ＦＨ＝△ＡＢＤの面積：△ＡＦＤの面積＝正方形ＡＢＣＤ×１／２：正方形Ａ
ＢＣＤ×１／８＝４：１
よって、ＢＨ＝ＢＤ×４／５

解き方②
ＡＨ：ＢＨ＝ＣＤ：ＢＣ＝１：２
ＡＨ：ＤＨ＝△ＡＢＦ：△ＢＦＤ＝正方形ＡＢＣＤ×１／４：正方形ＡＢＣＤ×３／
８＝２：３
よって、ＢＨ：ＢＤ＝２×２：２＋３＝４：５


小杉原 啓さんの解答　図をかかなくてごめんね　この解法は気が付きませんでした
勉強になりますねm(__)m

ＢＤ＝ＡＤ。ＡＤ，ＢＣを延長。交点をＥとおく。⊿ＡＢＨ∽⊿ＡＥＢ∽⊿ＢＥＨ。
また、ＡＢ：ＢＥ＝１：２より、ＡＨ：ＢＨ：ＥＨ＝１：２：４。
ＢＨ：ＡＥ＝２：５．ＢＤ＝1/2ＡＥより、ＢＤ；ＢＨ＝５：４

Banyanyanさんの解答２
小杉原さんの延長のアイデアをパクってみました。
まぁ、単なる相似なんですが・・・

ＢＨに平行な線分ＰＱを図のＸからＹまで動かしてみます。
このとき、線分ＰＱ（長さをＬとおく。もちろんＢＤ＝Ｌです。）
のうち、ＡＤより右側にある部分の長さをｘとする。

ＰがＸにあるとき、ｘ＝Ｌ
ＰがＹにあるとき、ｘ＝０
ここで、ＰがＢにあるときを求めればよいから、
ＢＨ＝（Ｌ－０）×ＢＹ／ＸＹ＝４／５Ｌ

ほんとうはこんなことしなくても、△ＡＸＹ∽△ＨＢＹで済んでしまうんですが・・

中学迷探偵さんの解答
その１
△ABHと△DBCは相似なのでBH：BC=AB：BD,　したがってBH*BD=AB*BC
両辺をBD*BDで割るとBH/BD=AB*BC/BD*BD=2*2/（2*2+1）＝4/5

その２
△BCDの頂点Cから辺BDにおろした垂線の足をEとします。
△AHBと△CEBは合同、△CEB、△DEC、△DCBは相似であり、DE：EC＝EC：EB=DC：CB=1
：2。
DE=1と置くとEC=2,EB=BH=4、DB=DE+EB=5
よってBH：BD=4：5　です。　　　　　　中学迷探偵




みなさんのコメント集

A(0、0)、B(2、0)、D(1、2)とおくと、Hの座標は、（2/5、4/5）で、あとは、
BH**2=（4/5）**2*5＝（4/5）**2*BD**2BH=4/5*BD

三平方でやっちゃった！　→私はこれで確認しました

面積の関係から解きました。

元の図形が正方形であることはすぐに分かったので、あとは例によって
３：４：５の直角三角形を作りました。（というより、できましたと言った方が正しいですが...。）

結構、悩んでしまいました。

3:4:5の直角三角形には気づきませんでした。でも相似比で(相似は算数?でしたっけ)
なんとか解けました。別解のように数学だとさすがに易問ですね。

こんばんは！！中学受験の時期だけに、実験することで、何かに気付き、仮説を立て、
公式を作ってみて、もう少し大きな数字代入してみて、、、いけるぞ！！という瞬間が
最高にうれしいです。いつも、楽しく、ためになり、解きがいのある良問に感謝しております。
→実験仮説検証　というのが科学者としての基本ですね(~o~)

算数では解けていません　→算数でもやってみてください^_^;

忙しいので、座標計算で片付けました。 (^^;＃忙しくなくてもそうやったに違いない…

ADの延長線とBCの延長線の交点をEとする。３角形EABを考える。後は合同と相似。

BCとADを延長してみると、相似な直角三角形がたくさん現れて…としてみました。1:2:
ルート5の三角形と3:4:5の三角形の関連性といえば、前者の小さい方の鋭角：後者の
大きい方の鋭角＝１：２あたりでしょうか。こう考えれば、今回の問題に3:4:5の三角形が
現れるのもナットク？

昨日、数学問題を解答した後、「中学への算数」の出題日であることを思い出し、そちらに
移動。もう算数問題の方はすっかり忘れていました。昔は「アル中ハイマー」だったのが
今では立派な「アルツハイマー」「ボケ」になりつつあります。

三平方の定理と三角形の相似を使って解きました。

想定解のように補助線を引いて考えました。正方形ということは先週の算チャレもあった
せいかすぐにわかりました（＾＾；

三平方で解いちゃいましたが、模範解答を見て、もう少し粘れば良かったと思いました。

正方形と相似でできました。小杉原さんと同じ方法でした。受験シーズンがきまして、
少し忙しくしていまして、すっかり、忘れていました。今年もよろしくおねがいします。