第13回 問題 （12月5日～2月4日）
上の三角形ABCにおいてAB:BC＝４：３ 角CABの２倍と角ABCの和が90度 面積が168cm＾2のとき
この三角形の３辺の和を求めてください
解答
図のようにACの延長線へBから垂線を下ろし足をPとします。
図の○と●のような角であることが確認できますから三角形ABPと三角形BCPは相似で相似比がAB:BC=4:3であることから
対応するBP:PCの比も4:3となります。 このとき三角形BCPは 3:4:5の三角形となっていることがわかりますから
CP=9xとすると BP=１２ｘ
三角形ABPも3:4:5の三角形なので BP=12Xより AP=16xとなりますから AC=16X-9X=7X
三角形ABCの面積=1/2×AC×BP=1/2×7X×12X=168 x^2=4 x=2となり
AB=20X BC=15Xから 周の長さは 20x+15x+7x=42x=84cm
解答2
角CAB=x とおく 角ABC=90-2x 角ACB=90+xとなる
AB=4k BC=3Kとすると 正弦定理から 4k/sin(90+x)=3k/sinx
sinx:cosx=3:4となり、これと (sinx)＾2+(cosx)＾2=1 x、y<90度 から sinx=3/5 cosx=4/5を得ます
面積の公式 1/2×4k×3k×sin(90-2x)=168より cos2x=２(cosx)＾2-1=7/25を代入 k=10を得ます。
AB=40 AC=30から 余弦定理で AC^2=40^2+30^2-2×40×30×cos(90-2x)から AC=14
よって 40+30+14=84 となります
解答3
辺ＢＣを延長して、点Ａから垂線を下ろしてＤとする。
二等分線の性質より
ＡＤ：ＤＣ＝４：３だから、ＡＤ：ＤＣ：ＡＣ＝7：３：５
点ＣからＡＢに垂線を下ろしてＥとすろと
△ＢＣＥ∽△ＢＡＣ で △ＢＡＣ≡△ＥＡＣ なので
ＤＣ：ＣＢ＝７/２：２５/２＝７：２５
(わたしはこれを理解するのに時間がかかりました。
途中計算は書きませんので皆さんも考えてください ほげ)
また、ＡＢ：ＢＣ＝４：３
これらより、
ＡＤ:：ＤＣ：ＡＣ：ＣＢ：ＡＢ＝２８：２１：３５：７５：１００
いま、ＡＢ＝１００とすると、△ＡＢＣの面積は１０５０になるが、実際は１６８な
ので、面積比は２５：４である。したがって、相似比は５：２になる。
求める三辺の和は、
ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝（１００＋７５＋３５）＊２/５＝８４
解答4
∠Ａ＝∠ＢＣＤなる点ＤをＡＢ上にとると△ACDは直角三角形。
各辺の長さの比を求めます。△ABC∽△CBDより、相似比は４：３
AB：BC＝BC：BDより４：３＝３：BD BD=９／４ よってAD＝４－９／４＝７／４
AD：BD＝７：９ △ACD＝１６８×７／１６＝１４７／２
また△ACDは４：３：５の直角三角形だから
(わたしはここが理解できませんでした。
途中計算は書きませんので皆さんも考えてください ほげ)
AC＝ａとすると△ACD＝（ａ×３ａ／４）÷２＝１４７／２より ａ＝１４
ＡＤ＝１４×５／４＝３５／２ ＡＢ＝（３５／２）×（１６／７）＝４０
ＢＣ＝４０×３／４＝３０
三辺の和は １４＋４０＋３０＝８４
解答5
ＢよりＣＡの延長に垂線を引いて交点をＤとする。
∠ＤＢＡ＝∠ＣＢＡなので、ＢＤ：ＤＡ＝ＢＣ：ＣＡ＝４：３
だから、ＤＢ＝４ｂ、ＤＡ＝３ｂ，ＢＣ＝４ａ，ＣＡ＝３ａとおく
そうすると、ＡＢ＝５ｂになる。
△ＤＢＣでピタゴラスの定理をつかって
（３ａ＋３ｂ）＾２＋（４ｂ）＾２＝（４ａ）＾２
これを整理すると
（ａ＋ｂ）＊（２５ｂ－７ａ）＝０
したがって、ａ：ｂ＝２５：７
そこで、ａ＝２５、ｂ＝７とすると
ＡＣ＝３ａ＝７５、ＢＤ＝４ｂ＝２８
だから、△ＡＢＣの面積は１０５０となる。
ところが、実際は１６８なので
面積比は、１０５０：１６８＝２５：４
すると、線分比は、５：２になる
求める３辺の長さは
ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝（３ａ＋５ｂ＋４ａ）＊２/５
＝（３５＋１００＋７５）＊２/５
＝８４
解答6
ＣからＡＢに垂線の足をおろし、交点をＰとします。三角形ＡＰＣをＡＣで折り返
し、
Ｐの移動先をＱとします。このときＣＱはＢＣと一直線です。
⊿ＣＰＢと⊿ＡＱＢは相似で⊿ＣＰＢ：⊿ＡＱＢ＝9：16。⊿ＣＰＢ＝18とおくと
⊿ＣＡＱ＝⊿ＣＡＰ＝7。したがって
ＣＰ＝ＣＱ＝（7/25）*ＣＢ＝3*a*（7/25）（ＣＢ＝3*aとおく）
ＣＰ：ＡＱ＝3：4、したがってＣＱ：ＡＱ：ＣＡ＝3：4：5でありＣＡ＝（5/3）*Ｃ
Ｑ＝（7/5)*a
⊿ＣＡＢ＝(1/2)*4*a*3*a*(7/25)=168だからa=10となります。
よってＡＢ+ＢＣ+ＣＡ＝40+30+14＝84です。