第4回 算数問題 （3月5日～4月4日）
１辺が3cmの正三角形ABCと正三角形BCDがあります。辺ABおよび辺ACの延長線上に点E,Fをとったところ、3点E,D,Fが
同一直線上に並び、CF=5cm、BF=7cmとなりました。
このとき、BDとCEの交点をＧとしたとき、CGの長さを求めてください。
解答1 ほげ
三角形BGCと三角形ABFは相似となります。
まず 角GBC=角BAF=60度
次に BG:BC=BG:AC=BD:AF(BDとAFが平行ですから）=AB:AF
よって２辺の比とその辺が挟む角が等しいので相似となります。
このことからAF:BF=BC:GCから 8:7=3:CG CG=21/8
解２ 巷の夢 さん
相似からEBの長さを出して、角の二等分の性質から出しました。
解３ 虚数 さん
いつも通り座標を置いてしまった。
B(0,0), C(3,0) とおくとなんやかんやで G(9/16,-9√3/16)
解４ 小杉原 啓 さん
まず、BD=3,AF=8より、平行線による相似を使って、BE=3×3/5＝9/5。
すると、BE:EC=3:5=BC:CFなので、△BCE∽△CBF。
よってCE=3×7/5=21/5であることがわかる。
今度は△CEFで平行線の相似を使えば、
CG=21/5×5/8=21/8となる。
解5 有無相生さん
AＥの延長とＦを通りＢＣに平行な直線の交点をＨとする。
△ＡＨＦは正三角形になり、ＢＨ＝5、ＨＦ＝8
ＡＥとＣＤは平行で、△ＦＣＤと△ＦＡＥは相似だから、
ＡＥ＝ＣＤ*8/5＝24/5 ＢＥ＝9/5
ＡＥとＣＤは平行で、△ＧＢＥと△ＧＤＣは相似だから、
ＧＥ：ＧＣ＝ＢＥ：ＤＣ＝＝9/5：3＝3：5 ＣＧ＝5/8*ＣＥ
△ＢＨＦと△ＣＡＥは相似。（夾角60度と、二辺の比が5：8）
ＡＥ：ＥＣ＝ＨＦ：ＦＢ 24/5：ＥＣ＝8：7 ＥＣ＝21/5
ＣＧ＝5/8*21/5＝21/8
解6 takuさん QPerさん
余弦定理と相似で解きました。
△CDFで余弦定理から DF=19^1/2
△AEF∽△CDFで相似比8：5より
EF=(8*19^1/2)/5
cos∠CEF=(7*19^1/2)/38より△CEFで余弦定理から
CE=21/5
△BGE∽△DGCで相似比3：5から CG=21/8
解7 モルモット大臣 さん
題意の条件から三角形BEDと三角形CDFにおいてBD//CFより平行線の同位角から
∠BDE=∠CFD,また∠EBD=∠DCF=60°であることから
三角形BEDと三角形CDFは相似で
相似比は5:3である。対応する辺の長さからBE=3×3/5=9/5と求まる。
次に三角形BEGと三角形DCGに注目してみると
BE//CDから 三角形BEGと三角形DCGは
やはり相似で相似比は3:5である。よってEG:GC=3:5となる。
次に三角形BECに着目するとBE= 9/5, BC=3,∠EBC=120°であるから算数
では禁じ手の余弦定理により
EC^2=EB^2+BC^2-2EB×BCcos120ここに数値を代入してEC^2=
(9/5)^2+3^2+ 27/5=441/25
よって EC=21/5EG:GC= 3:5 よりGC=5/8EC=5/8×21/5=21/8
答え 21/8 cm
解8 Fujisaki さん
△ＢＥＤ∽△ＣＤＦで、ＢＥ：ＣＤ＝３：５ だから、ＢＥ：ＢＣ＝３：５
△ＢＥＣと△ＢＣＦは、１２０度をはさむ２辺の比が３：５で等しいので相似
だから、ＥＣ：ＢＦ＝３：５ ∴ＥＣ＝２１/５
また、△ＢＥＧ∽△ＤＣＧで相似比は３：５なので、
ＣＧ＝ＥＣ×（５/８）＝（２１/５）×（５/８）＝２１/８ ∴ＣＧ＝２１/８
解9 maruhagedon さん
△ＥＢＣと△ＢＣＦが相似で、３辺の長さの比は３：５：７。
また、△ＢＥＧと△ＣＤＧも相似で、相似比は３：５なのでＥＧ：ＧＣ＝３：５。
解10 ねこやん さん
三角形ＢＥＤと三角形ＣＤＦにおいて
∠ＤＣＦ＝１８０ー１２０＝６０°
同様にして∠ＥＢＤ＝６０°故に∠ＤＣＦ＝∠ＥＢＤ＝６０°・・・①
また∠ＢＥＤ＋∠ＢＤＥ＝１８０ー６０＝１２０。
∠ＢＥＤ＋∠ＣＦＤ＝３６０ー１２０×２＝１２０
故に∠ＢＣＥ＝∠ＣＦＤ・・・・②
①、②より三角形ＢＥＤ∽三角形ＣＤＦ
故にＢＥ：３＝３：５よりＢＥ＝９／５
また三角形ＢＥＣと三角形ＣＢＦにおいて∠ＥＢＣ＝ＢＣＦ＝１２０°・・③
またＢＥ：ＣＢ＝９／５：３＝３：５
ＢＣ：ＣＦ＝３：５・・・④
③、④より三角形ＢＥＣ∽三角形ＣＢＦ
故にＥＣ：７＝３：５ ＥＣ＝２１／５
また∠ＢＤＣ＝∠ＤＣＦ＝６０°よりＤＢ//ＡＦ
故にＥＣ：ＧＣ＝８：５
故に２１/５：ＧＣ＝８：５
故にＧＣ＝２１/８
解11 ISAMU さん
△BEDと△CDFは相似よりBE=1.8
CBの延長線とEを通ってCBに垂直な線との交点をHとすると
△BHEはBH:HE:BE=1:√3:2の直角三角形になり、BH=0.9、HE=0.9√3になる。
又、CH=CB+BH=3.9より、△CHEにおいて三平方の定理を適用すると、
CE=4.2
次にAF平行BD(∠AFD=∠BDE)より、△AECと△BEGは8:3で相似となり、
CG=4.2×(1-3/8)=2.625