第1回問題解答

解１　
碁盤の目の道を対角線の位置にある地点へ行く道筋を求める問題の立体版です。
添付図のように1分ごとの道筋の数を書きいれていくと　できますね。ある地点へ行
くには、その地点へ上下の移動、左右の移動、前後の移動方法があり、それぞれ
までの道筋の和となりますから、順次何通りあるか出していくとよいわけです。

解2（小杉原　啓　さん）
　上から見て右回りに移動する回数をA、左回りに移動する回数をB、
上下に移動する回数をCとおくと、問題の条件をみたすのは、
(A,B,C)=(6,0,1),(0,6,1),(4.2.1),(2,4,1),(3,1,3),(1,3,3),(2,0,5),(0,2,5)の場合。
よって求める場合の数は、
((7!÷6!)＋(7!÷4!÷2!)＋(7!÷3!÷3!)＋(7!÷5!÷2!))×２＝546(通り)。

解３（たなしん　さん）
２分後，４分後の位置はＡ，Ｄ，Ｆ，Ｇの４ヶ所となり、
２分後では、Ａが３通り，Ｄが２通り，Ｆが２通り，Ｇが２通りである。
４分後では、Ａからが同じなので掛け合わせて　Ａ９，Ｄ６、Ｆ６。Ｇ６
　　　　　　ＤからはＡが２通り，Ｄが３通り，Ｆが２通り，Ｇが２通りと
　　　　　　なるので掛け合わせると　　　　　Ａ４，Ｄ６，Ｆ４，Ｇ４
　　　　　　Ｆからは同じ様なパターンで　　　Ａ４，Ｄ４，Ｆ６，Ｇ４
　　　　　　Ｇからは同じく　　　　　　　　　Ａ４，Ｄ４，Ｆ４，Ｇ６
となり、合計でＡ２１通り，Ｄ２０通り，Ｆ２０通り，Ｇ２０通りである。
最後に５、６、７分後の移動を考えると
Ａからは、Ｂ，Ｃ，Ｅの３方向共に２通りあるので合計６通りとなる。
Ｄからは、Ｂ，Ｃは２通り、Ｈは３通りあるので　合計７通りとなる。
Ｆ，Ｇも同じかたちになりますので　　　　　各々合計７通りとなる。
以上を掛け合わせて、Ａが１２６通り，Ｄが１４０通り，Ｆが１４０通り
，Ｇが１４０通りとなるので、総合計は５４６通りとなりました。

解４　(teki　さん）この解答は見事です。私のお気に入りです。
この問題、「ゲームで最初にコインを全て表にして、７手で全てを
裏返す方法は何通りあるか？」あるいは「（0,0,0）を７手で（1,1,1）
にする方法は何通りあるか？」という問題に置き換えて考えました。
これを算数でいうと…
5、1、1パターン：６×７×３＝１２６
最初に11111という数字を考え、そこに2を加えて６桁の数字を作る
方法は６通り この６桁の数字に3を加えて７桁の数字にする方法
は７通り これが３通りあるので、１２６通り
3、3、1パターン：20×7×3＝420通り
最初に111111という６桁の数字を考え、その内３つを2に置き換える
方法は２０通り そこに3を加えて７桁の数字を作る方法は７通り
これが３通りあるので、４２０通り つまり、１手、１手、５手の場合が
7!÷5!×３＝126通り、１手、３手、３手の場合が、7!÷3!÷3!×３＝420通り
で、合計546通りです。
数学では
１手、１手、５手の場合が7!÷5!×３＝126通り、
１手、３手、３手の場合が、7!÷3!÷3!×3＝420通りで、
合計546通り　ということになりますね。

解5　(tomh 　さん）
この解答には頭を殴られました。なぜこれで出るのかあとでゆっくり
考えたいと思います。

行列を使って解きました。
つながっているところは”１”、いないところは”０”とした
８次の正方行列を作って７乗しただけです。例えば、

A-B-C

という図なら、

  ABC
A 010
B 101
C 010

という行列になります。
そして、１ステップごとにべき乗を計算していくだけです。