Langleyの問題

タイプ6

a=c=30　かつ　d=2b-30　（15<b<45）

左右対称にすると　No52
a=10　b=30　c=20　d=30のとき　ｆ＝10
No219
a=30　ｂ=40　c=30　d=50　のとき　ｆ＝20　
　

辺BC上に角CDE=180-4ｂ　度　となる点Eをとる。辺AB上（またはABの延長線上）に
角BEF=120-2b　度　となる点Fをとります。

三角形CDEは　2b　度　(180-4b)　度　2b　度　の二等辺三角形　となるので　DC=DE　　�@

三角形BDEは　b度　b度　(180-2b)度の二等辺三角形　となるので　BE=DE　　　�A

三角形BEFは　(ｂ+30)　度　(120-2ｂ)　度　(b+30)度の二等辺三角形　となるので　BE=EF　　　�B

�A�Bより　DE=EF　また　角DEF=60度より　三角形DEFは正三角形

よってDE=DF
これと�@からDC=DF

すると三角形CDFは二等辺三角形であり　角DCF=(180-(240-4b))/2=２ｂ-30　度となる
ということは　Fは実はAと一致していることがわかる

よって　角ADB=角FDB=60-b　度　となります


タイプ6-2　　　tomhさんの証明


a=c=30　かつ　d=2b-30　（45<b<60）

No230の別解
(a, b, c, d; f) = (30, 50, 30, 70; 10)
















直線BC上に∠CDE=4b-180となる点を(辺BC外に)とります。
また　直線AB上に∠BEF=120-2bとなる点Fをとります。

△CDEは、180-2b, 4b-180, 180-2b の二等辺三角形となるので、
DC=DE.　… (1)

△BEDは、b, b, 180-2b の二等辺三角形となるので、
BE=DE.　… (2)

△BEFは、b+30, 120-2b, b+30 の二等辺三角形となるので、
BE=EF.　… (3)

(2)(3)より、DE=EF. また、∠DEF=60 より、△DEFは正三角形。

よって、DE=DF.
これと(1)から、DC=DF.

すると、△CDFは二等辺三角形であり、
∠DCF=[180-(60-(4b-180))]/2=2b-30 となる。
ということは、Fは実はAと一致していることがわかる。

よって、∠ADB=∠FDB=60-b となります。

特に10刻みの整角になるのは、b=50のときで、
　(a, b, c, d; f) = (30, 50, 30, 70; 10) … No.230
です。