Langleyの問題

タイプ21

ｄ−ａ＝ｅ と 正三角形ＤＯ□による証明
�凾aＣＤの外接円の中心をＯ，円と直線ＢＡの交点をＦ， 円と直線ＣＡの交点をＧとします。
補題１　ｄ−ａ＝ｅのとき∠ＡＯＢ＝ｃ（ｃ＜９０） または ∠ＡＯＢ＝１８０−ｃ（ｃ＞９０）

証明
弧GFに対する円周角=弧GDに対する円周角-弧FDに対する円周角
　　　　　　　　　　　　　=　d-a　=　e（仮定より）
　　　　　　　　　　　　　=弧BCに対する円周角
より　弧GF=弧BC
このことから　弧GCの長いほう=弧GF+弧FC
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=弧BC+弧FC
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=弧BFの長いほう
その中心角を考えると　∠FOB=∠GOC
よって　�凾aＯＦ≡�凾bＯＧ

三角形AFGと三角形ACBにおいて
　FG=CB　(上に記した弧GF=弧BCより）
　∠GFA=∠BCA　(円周角）
　∠FGA=∠CBA（円周角）
より　△AFG≡△ACB
よって　AG=AB

三角形OAGと三角形OABにつついて
AG=AB　OA共通　OG=OBより
三角形OAG≡三角形OAB
よって　∠AOG=∠AOB

ところで　∠GOBは弧GBに対する円周角であるから　2c　または360-2c
よって∠AOB=c　または　180-cとなる

タイプ21-1

a=30、ｃ=270-3b　d=ｂ-30　のとき　　f=90-b 　

e=180-b-c-d=ｂ-60=d-aより　タイプ21の条件をみたす

b=70として
240　 a=30 b=70 c=60 d=40 f=20
ｂ＝80として　
241　 a=30 b=80 c=30 d=50 f=10
の２つが出ます

∠FOG=弧FGに対する中心角=弧BCに対する中心角　（上の補題から　弧GF=弧BC)
　　　　=2e=2b-120
∠OGA=∠OGBー∠CGB
　　　　=(180-∠GOB)/2-e　　　　　(三角形OGBは二等辺三角形）
　　　　=(180-2c)/2-e
　　　　=2b-120
よって　OF//AG

三角形AGFと三角形GAOについて
∠GAF=∠BAC=180-a-b-c=180-30-b-(270-3b)=2b-120=∠AGO
AG共通
∠AGF=180-∠GAF-∠GFA=180-(2ｂ-120)-c　∠GAO=180-∠OGA-∠GOA=180-(2ｂ-120)-c
よって△AGF≡△GAO
GF=AO

△AODと△GFDについて
AO=GF　（上のことから）
　∠GFD=180-∠GCD=210-b
　∠AOD=∠AOG+∠FOD+∠FOD=c+2d=21-b
よって　∠GFD=∠AOD
OD=FD　（三角形OFDは正三角形）
よって　△AOD≡△GFD
AD=GD

三角形GDAは二等辺三角形となるから　∠GDA=180-2×∠DGA=180-2b
∠ADB=∠GDB-∠GDA=c-(180-2b)=90-b

タイプ21-2

a=30、ｃ=3b-270　d=240-2ｂ　のとき　　f=ｂ-90 　

e=180-b-c-d=210-2ｂ=d-aより　タイプ21の条件をみたす

b=100として

244　 a=30 b=100 c=30 d=40 f=10
がでます















補題より　∠GOA=c=3ｂ-270
補題の証明の中から　∠FOG=2e=2(180-b-c-d)=420-4b
よって∠FOA=150-b　...�@
四角形DFBCは円に内接しているので　∠DFA=180-c-d=210-b
三角形OFDは正三角形なので∠DFO=60
よって書くOFA=210-b-60=150-b　　...�A
�@�Aより　三角形OFAは二等辺三角形
よって　OA=FA　　...�B

三角形DFAと三角形DOAについて
DF=DO　(三角形DOFは正三角形）
�Bから　FA=OA
DAは共通
よって三角形DFA≡三角形DOA
∠ADO=60/2=30である

四角形DBCOについて　∠DOCの大きいほう=2b
∠DOCの小さいほう=360-2b
三角形ODCは二等辺三角形であるから∠ODC=(180-(360-2b))/2=ｂ-90
∠BDC=e=210-2b
よって∠ADB=30-(b-90)-(210-2b)=b-90

タイプ21-3

a=30、ｃ=b+90　d=60-ｂ　のとき　　f=90-ｂ 　

e=180-b-c-d=210-2ｂ=d-aより　タイプ21の条件をみたす

b=10として
191　 a=30 b=10 c=100 d=50 f=80
b=20として
209　 a=30 b=20 c=110 d=40 f=70
がでます









三角形OFDは正三角形

∠BCD=c+d=150　より　∠BODの大きいほう=300
∠BOCの小さいほう=60
よって三角形OBDは正三角形
AはODの垂直二等分線上にあるから三角形AOB≡三角形ADB
∠ADB=∠AOB=180-c　（補題より）=90-b

タイプ21-4

b=2a-180、ｃ=a-60　d=210-a　のとき　　f=30 　

e=180-b-c-d=210-2a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=100　として　
350　 a=1000 b=20 c=40 d=110 f=30
がでます














角BCD=c+d=150より　角BODの大きいほう=300
よって三角形OBDは正三角形

補題より角AOB=c=a-60
角ABO=a-60
よって三角形OABは二等辺三角形で　OA=BA

三角形OAB≡三角形BADとなるから　角ODA=角BDA=30度
よってｆ＝30となる

タイプ21-5

b=2a、ｃ=a+120　d=30-a　のとき　　f=30 　

e=180-b-c-d=30-2a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=10　として　
51番　a=10　b=20　c=130　d=20















角BCD=b+c=150より　角BODの大きいほう=300
よって三角形OBDは正三角形
補題より　角AOB=180-c=60-a
角OBA=角OBD-a=60-a
よって　三角形OABは二等辺三角形

三角形OAD≡三角形BADとなり　角ADB=30度　となる

タイプ21-6
b=a/2、ｃ=120-a/2　d=30+a/2　のとき　　f=90-a/2
e=180-b-c-d=30-a/2=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=20 として

112番　a=20 b=10 c=110 d=40 f=80

a=40 として

256番　a=40 b=20 c=100 d=50 f=70








角BCD=c+d=150より　角BODの大きいほう=300　よって三角形OBDは正三角形

角OBC+角BCA=60+b+c=180より　OB//CA
補題より　角AOB=180-c=60+a/2
角OBC=60+b=60+a/2
よって　四角形OBCAは等脚台形　
よって　OA=CB
三角形OADと三角形BCDは
　OD=BD　角AOD=角DBC=a/2　OA=BC
より　合同となり　角ADO=角BDC=e=30-a/2

よってf=e+60=a/2+60

タイプ21-7
b=2a、ｃ=120-a　d=30　のとき　　f=30
e=180-b-c-d=30-a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=10 として

48番　a=10 b=20 c=110 d=30 f=30

a=20 として

159番　a=20 b=40 c=100 d=30 f=30


d=30より　角GOD＝60
三角形ODGは正三角形

角OGA=角OGD-角CGD=60-2a
角BAC=180-a-b-c=60-2a
よってＡＦ//ＯＧ

三角形OAD　三角形GFD
角AOD=角AOG-60=180-c-60=120-c=a　(補題より）
角FGD=a　より　角AOD=角FGD

これから　角AOG=角FGO=60+a
四角形OAFGは等脚台形
よって　OA=FG

三角形OAD　三角形GFD
について　OA=GF
角AOD=角FGD=a
OD=GD
より三角形OAD≡三角形GFD

f=角BDG-角ODG-角ODA=c-60-角GFD=c-60-e　（補題より　BC=GF）
=120-a-60-(30-a)=30

タイプ21-8
b=a/2　ｃ=120+a/2　d=30　のとき　　f=30
e=180-b-c-d=30-a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=20 として

115番　a=20 b=10 c=130 d=30 f=100













角d=30度より角GOD＝60
三角形ODGは正三角形

AOG=180-c=+60-a/2　（補題より）
角AGD=60-b=60-a/2
よって三角形OAGは二等辺三角形

角AOD=角DOA-角AOG
角AGD=角DGO-角AGOより　角AOD=角AGD
AO=AG　　　　　DO=DG
よって三角形OAD≡三角形GAD
角ADO=角ADG=30度
f=角ADB-角ADO=c-30=90+a/2



タイプ21-9
b=a/2+90　ｃ=30+a/2　d=30　のとき　　f=a/2
e=180-b-c-d=30-a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=20 として

177番　a=20 b=100 c=40 d=30 f=10







d=30より　角GOD＝60
三角形ODGは正三角形

角AOG=c=30+a/2
角AGO=角AGD-角OGD=ｂ−60=a/2+30
よって　角AOG=角AGO
三角形AOGは二等辺三角形
ADはOGの垂直二等分線になり角ADO=30度

一方　三角形OBDにおいて
角DOB=2(c+d)=120+a
角BDO=(180-角DOB)/2=30-a/2
f=角ADO-角BDO=a/2

タイプ21-10
b=30　ｃ=90+a　d=30　のとき　　f=2a
e=180-b-c-d=30-a=d-aより　タイプ21の条件をみたす

a=10として
66番　a=20 b=30 c=100 d=30 f=20
a=20 として
149番　a=20 b=30 c=110 d=30 f=40








角GOD=2d=60より三角形ＤＯＧは正三角形
角DOC=2ｂ=60より三角形DOCは正三角形
明らかに　�凾`ＯＣ≡�凾`ＤＣ
AOG=180-c（補題）より　角AOD=180-c-60=30-a
AGはODの垂直2等分線であるから　角ADO=30-a
f=角GDB-角GDO-角ODA=c-60-(30-a)=2a

***********************以下未整理
●正三角形ＤＯＣ、のとき（ｂ＝３０）：
【�ｂR３５、ｆ＝４０；�ｂR４５、ｆ＝２０；（ｃ＋３ｅ＝９０）；⇒ＡＢ//ＯＣ，�凾`ＯＤ≡�凾aＣＤ，ｆ＝６０−２ｅ】；
【�ｂR５２、ｆ＝２０；（２ａ−ｄ−ｃ＝６０）；⇒�凾`ＯＤ≡�凾`ＣＤ，ｆ＝３０−ｅ】；
【�ｂU９、ｆ＝２０；（ａ＋ｄ＝３０）；⇒�凾`ＯＤ≡�凾`ＣＤ，ｆ＝３０−ｅ】；