Langleyの問題

正18角形を利用した解法
正１８角形の中心をOとして、頂点に◎�@�A�B・・・�O�Pの番号をつける。

その１　　タイプ４

Dを正１８角形の◎に 、Ａを円の中心Oに 、
◎＜C＜B＜�Hとなるように点B,Cを取ると
、円周角と中心角の関係から
ａ＋ｂ＝ｃ 、ｂ＋ｄ＝90 の条件と ｆ＝ａ の解が得られる。


補足
b+d
=1/2角CAD+1/2(角ACD+角ADC))
=1/2(角CAD+角ACD+角ADC)
＝90度

その2　タイプ３



Ｂを◎に、ＣをOに、◎＜Ａ＜Ｄ＜�Hとなるように対応させると、
円周角と中心角の関係から
2×ａ＝ｄ ，２×ａ＋２×ｂ＋ｃ＝180の条件と
ｆ＝ｃ／２の解が得られる。（タイプ３）

その３　タイプ１１

正１８角形の頂点から２つの点C、Dを◎＜C＜D＜�Hとなるように選び、
直線O◎に関するC、Dの対称点をC'、D'とすると、
直線O◎と直線CD'と直線C'Dは１点で交わる。
この点をAとすし　◎をBとする。
このとき　 ｄ＝２ａ ， ２ｃ＋ｄ＝180 ( a+c=90) の条件と
f＝ｅ＝180−ｂ−ｃ−ｄ＝90−ａ−ｂ＝ｃ−ｂ の解が得られる。


補足
d=角D'CD=角D'BD=２×角ABD=2a　

弧DD'に対する円周角+弧D'Bに関する円周角+弧BDに関する円周角=180
より　d+c+c=180　
よって　２ｃ＋ｄ＝180

弧BCに対する円周角=弧BC'に対する円周角　より
f=e






その4　タイプ5


正１８角形の頂点から２つの点B'、C'を◎＜B'＜C'＜�Hとなるように選び、
直線O◎に関するB',C'の対称点をB,Cとすると、
直線O◎と直線CD'と直線C'Dは１点で交わる。
この点をAとし　◎をDとする。
このとき
a=b ，c+2d=180 の条件と f＝９０−d＝1/2c
の解が得られる。



補足
C'DとCDの円周角から　a=b
弧◎B'に対する円周角+弧BB'に関する円周角+弧BDに関する円周角=180より
d+c+d=180
よってc+2d=180

このとき　弧BB'に対する円周角は　cであるから　角CDA=1/2c






その5　タイプ2

正１８角形の頂点から２つの点D、C'を◎<D＜E'＜�Hとなるように選び、
直線O◎に関するD　E'の対称点をB,Eとすると、
直線O◎と直線DE'と直線E'Bは１点で交わる。
この点をAとし　◎をCとする。
このとき
c=d ，b+c=90 の条件と f＝aの解が得られる


















以下の文章は未整理です

ａ＜ｄ とすると、 B、C、D を円に内接すると、Ａは円の内部にあることになる。
B、C、D は正１８角形の頂点に一致するので、Ａが頂点間を結ぶ線分の交点であることを示せば
証明できたことになる。　　　
何を証明したことになると書いているのでしょうか？？４点は３つの頂点と対角線の交点上ににあるということを言いたいのでしょうが
それは　求めかたが逆ような感じがします
このやり方は　角度があたえられて　それに対してAが決定するのではなく　Aによって角度が決定されるということですね。
もしそうであれば...
確かに図形が　相似なので　解は１通りになるから　逆をやっても角度は求まるのですが　そのように出すということはしたくないのです
しかし　このように考えると　すべて説明がつくということで　おもしろい考え方です　逆の考え方であっても理解はしたいものです

BAの延長と円周の交点をE、CAの延長と円周の交点をF、DAの延長と円周の交点をGとして

頂点間を結ぶ線分の交点であることが　証明された点を通る線分の何れか　と　BE 及び CF が一致し
D が その一端と一致すれば 交点であることが証明されGが定まる。
主語がよくわからないので　説明をお願いしたいのです。
最初の方で　何が　頂点間を結ぶ線分の交点である　というのか
次のフレーズで　証明された点　とはなにか
これが　よくわからないので　そのあとの文章もよみこなせません

：＊交点の証明 正１８角形の頂点頂点間を結ぶ線分の交点として、中心O 、P(N、J、K) の他の点をさがす。
　これも　説明をお願いします　ほかの点を探す　というのは　どの点をさがしているのでしょうか
P(N,J,K)に一致するP(n,j,k)のn,j,kの関係を探す　ということでしょうか　　　　

注:さいと散の定義によると　P(N,J,K)は中心とN番目の頂点　を結ぶ直線をmとし　K番目の頂点と
(J番目の頂点をmによって対称移動した点）を結ぶ直線　と　mの交点のことです。

10）（�� 89）10、70、50、30 の証明
BからACに垂線を引きCDとの交点をQとする。
AQとBCの延長線の交点をOとする。

∠BCA=180-(70+10+50)=50度　∠BAC=50度であるから ΔABCは二等辺三角形である
BQはACの垂直二等分線であるから ΔAQCも二等辺三角形となる
よって∠QAC=∠QCA=30

∠BAC=180-(10+70)-50=50　より　∠BAQ=50+30=80　また　∠ABD=10より BD⊥AQ
よって∠BOA=90-∠DBC=20

∠QDB=180-70-(30+50)=30　∠DBQ=70-∠QBC=30　より　三角形BDQは二等辺三角形であり
BD⊥AQであるから　AQはBDの垂直二等分線であり ΔBAD も二等辺三角形となる
よって∠ADB=∠BAD=10 すなわち f=10となる

∠ABO=∠BAO=80 であるからΔBOAは二等辺三角形でありAQがBDの垂直二等分線であるから 点A、B、Dは円Oの円周上にある。
　　　　　ここまでは図を書いて理解しました

11）ここで、前記のA、B、D を
→これは　ここで、前記のB、A、D を　のまちがいではないでしょうか
正１８角形の �A、�@、◎ に対応すると点C は P(0、1、5)=P(0、2、3) に対応することになることがわかります。


この点をT6(0) とする。　名前の付け方の規則を教えてください　0を基準に...なぜ6か

このような作業をして　 P(0、1、5)=P(0、2、3) のような関係が成り立つ対角線の引き方を調べることにより
交点を類別しようとしているのでしょうが　そのあと　どういう方針で何を目的にしているのか教えてください

どうも　物分りが悪くてすみませんが色を変えて書いたところが　読みこなせないところです
説明をいただけるとありがたいです



以下の文章はあまり読みこなしていません　上のことが解決したら理解できるかも

：新たに、角度が 10、40、100、10 の図の B、C、D を正１８角形の �A、�@、T6(0) に対応するとA は P(0、1、6)=P(0　
"2
　　　　　ここは　文字化け
!"4) に対応することになる。

この点をT7(0) とする。：同様に、角度が 20、30、80、20 の図の B、C、D を正１８角形の �B、�@、T6(0) に対応するとA は P(0、1、7)=P(0、3、4) に対応することになる。この点をT8(0) とする。：（直線ＯＮに対して同じ位置関係の点は、それぞれ T6(N) 、T7(N) 、T8(N)とする）：12）同様に、角度が 50、60、30、50 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�P、T7(17) に対応するとＡ は 直線◎�Eと直線�@�Lと直線�B�P の交点となるが◎�Eと�@�Lは対称なので直線�A�Oも１点で交わる。この点をW6(0) とする。：同様に、角度が 20、80、40、20 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�P、T7(0) に対応するとＡ は 直線◎�Fと直線�@�Kと直線�C�P の交点となるが◎�Fと�@�Kは対称なので直線�A�Nも１点で交わる。この点をW7(0) とする。：同様に、角度が 10、60、30、10 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�N、T8(0) に対応するとＡ は 直線◎�Gと直線�@�Jと直線�B�N の交点となるが◎�Gと�@�Jは対称なので直線�C�Oも１点で交わる。この点をW8(0) とする。：：（直線ＯＮに対して同じ位置関係の点は、それぞれ W6(N) 、W7(N) 、W8(N)とする）：13）同様に、角度が 90、30、20、90 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�P、W6(16) に対応するとＡ は 直線◎�Dと直線�@�Nと直線�A�P の交点となる。この点をU5(0) とする。： 同様に、角度が 50、50、30、50 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�P、T6(17) に対応するとＡ は 直線◎�Fと直線�@�Mと直線�B�P の交点となる。この点をU7(0) とする。：同様に、角度が 50、30、20、50 の図の B、C、D を正１８角形の ◎、�O、T6(16) に対応するとＡ は 直線◎�Gと
D>@~-!-.文字化け
$HD>@~-"-0
の交点となる。この点をU8(0) とする。：：（直線ＯＮに対して同じ位置関係の点は、それぞれ U5(N) 、U7(N) 、U8(N)とする）：直線 ON に対してU5(0) と対称な点を V5(0) とする。またU7(0)、U8(0)と対称な点をそれぞれV7(0)、V8(0)とする。：：（直線ＯＮに対して同じ位置関係の点は、それぞれ V5(N) 、V7(N) 、V8(N)とする）：14）線分の長さをいくつ離れた頂点を結ぶかを表す数として(頂点番号の差) 交点をその点を通る線分の数と線分の長さで整理すると（中心を通る線分は長さ９になる） ： O：9本の長さ９の線分 P(N、J、K)：3本で1本は長さ９で他の2本は対称：T6(N)：5本：長さ、９，６，６，５，５で対称T7(N)：5本：長さ、９，７，７，６，６で対称T8(N)：5本：長さ、９，６，６，５，５で対称：W6(N)：4本：長さ、６，６，４，４で対称W7(N)：4本：長さ、７，７，５，５で対称W8(N)：4本：長さ、８，８，６，６で対称：U5(N)，V5(N)：3本：長さ、５，４，３U7(N)，V7(N)：3本：長さ、７，５，４U8(N)，V8(N)：3本：長さ、８，４，４：＊＊交点と A の一致の証明15）正１８角形の ◎ を B として 9）の図を描く場合、中心角と円周角の関係からF＝ｃ／10 ， Ｄ＝（ｃ＋ｄ）／10 ， Ｃ＝（ｃ＋ｄ＋ｂ）／10 ， Ｅ＝（ｃ＋ｄ−ａ）／10で表される頂点となります。線分の長さは ｜BE｜＝（ｃ＋ｄ−ａ）／10 ，｜CF｜＝（ｂ＋ｄ）／10(但し９を超えたときは、１８から、その数を引いた数を長さとします。)なので、長さの適合する点だけ調べればじゅうぶんです。：この方法で352個を調べると Ａ が Oの種類＝28個 ，P の種類＝72個 ，Ｔの種類＝144個 ，Ｗ の種類＝72個 ，Ｕの種類＝18個 ，Ｖの種類＝18個という結果になりました。番号、a、b、c、d、x、;A点の種類��!
　　
��!　　　以下文字化けのところは適当に改行してあります
.1、
(B10、10、20、80、10；O 】

　��.2、10、10、30、40、20；T6(5)】
　��.3、10、10、30、110、10；T6(16)】
　��.4、10、10、40、30、30；W6(5)】
　��.5、10、10、40、70、20；P(11、1、7)】
　��.6、10、10、40、110、10；W6(16)】
　��.7、10、10、50、50、30；T7(9)】
　��.8、10、10、50、80、20；T7(14)】
　��.9、10、10、60、40、40；T6(9)】
　��.10、10、10、60、60、30；P(12、1、6)】
　��.11、10、10、60、80、20；T6(15)】
　��.12、10、10、20、20、70；P(9、1、2)】
　��.13、10、10、80、30、60；U8(10)】
　��.14、10、10、80、40、50；W7(11)】
　��.15、10、10、80、50、40；P(13、1、5)】
　��.16、10、10、80、60、30；W7(14)】
　��.17、10、10、80、70、20；V8(16)】
　��.18、10、10、80、80、10；P(17、1、2)】
　��.19、10、10、100、30、70；W6(12)】
　��.20、10、10、100、40、50；P(14、1、4)】
　��.21、10、10、100、50、30；W6(15)】
　��.22、10、10、110、30、70；V7(14)】
　��.23、10、10、110、40、40；U7(15)】

��.24、10、10!
$B!"1
20、20、100；U5(13)】

　��.25、10、10、120、30、60；P(15、1、3)】
　��.26、10、10、120、40、20；V5(17)】
　��.27、10、10、130、20、100；V5(15)】
　��.28、10、10、130、30、30；U5(16)】
　��.29、10、10、140、20、70；P(16、1、2)】
　��.30、10、20、20、40、10；T6(3)】
　��.31、10、20、30、70、10；O 】
　��.32、10、20、40、20、30；V5(5)】
　��.33、10、20、40、40、20；T7(6)】
　��.34、10、20、40、80、10；T8(15)】
　��.35、10、20、50、30、30；W7(6)】
　��.36、10、20、50、50、20；T8(9)】
　��.37、10、20、50、80、10；W8(15)】
　��.38、10、20、70、30、40；T6(9)】
　��.39、10、20、70、40、30；W8(10)】
　��.40、10、20、70、70、10；P(16、2、3)】
　��.41、10、20、30、20、60；P(9、1、3)】
　��.42、10、20、80、40、30；T7(12)】
　��.43、10、20、80、50、20；T7(14)】
　��.44、10、20、100、20、70；U7(11)】
　��.45、10、20、100、30、40；T6(13)】
　��.46、10、20、100、40、20；T6(15)】

��.47、10、20、110、20、70；W6(12)
![ $
B-b.48、10、20、110、30、30；W7(14)】

　��.49、10、20、110、40、10；W6(16)】
　��.50、10、20、120、20、60；V8(14)】
　��.51、10、20、130、20、30；W6(15)】
　��.52、10、30、20、30、10；W6(2)】
　��.53、10、30、30、20、20；U5(3)】
　��.54、10、30、30、50、10；T8(4)】
　��.55、10、30、40、30、20；T6(5)】
　��.56、10、30、40、60、10；O 】
　��.57、10、30、60、20、40；V7(7)】
　��.58、10、30、60、40、20；T8(9)】
　��.59、10、30、60、60、10；P(15、3、4)】
　��.60、10、30、70、30、30；T7(9)】
　��.61、10、30、70、40、20；T8(11)】
　��.62、10、30、40、20、50；P(9、1、4)】
　��.63、10、30、80、30、30；W8(10)】
　��.64、10、30、80、50、10；W8(15)】
　��.65、10、30、100、20、50；W7(11)】
　��.66、10、30、100、30、20；T7(14)】
　��.67、10、30、110、20、40；T6(13)】
　��.68、10、30、110、30、10；T6(16)】
　��.69、10、30、120、20、20；T6(15)】
　��.70、10、40、30、40、10；W8(3)】
　��.71、10、40、50、20、30；W6(5)】

b.72、10、40、50、30、20；T7(6)】

　��.73、10、40、50、50、10；O 】
　��.74、10、40、50、20、40；P(9、1、5)】
　��.75、10、40、80、30、20；T8(11)】
　��.76、10、40、80、40、10；T8(15)】
　��.77、10、40、100、20、30；T7(12)】
　��.78、10、30、40、40、10；P(4、3、4)】
　��.79、10、50、60、20、30；W7(6)】
　��.80、10、50、60、40、10；O 】
　��.81、10、50、60、20、30；P(9、1、6)】
　��.82、10、20、30、30、10；P(3、2、3)】
　��.83、10、60、40、20、20；U8(4)】
　��.84、10、60、70、30、10；O 】
　��.85、10、60、70、20、20；P(9、1、7)】
　��.86、10、10、20、20、10；P(2、1、2)】
　��.87、10、70、40、30、10；W8(3)】
　��.88、10、70、50、20、20；T6(5)】
　��.89、10、70、50、30、10；T8(4)】
　��.90、10、70、60、20、20；T7(6)】
　��.91、10、70、80、20、10；O 】
　��.92、10、100、30、20、10；W6(2)】
　��.93、10、100、40、20、10；T6(3)】
　��.94、20、10、20、120、10；T6(17)】

　��.95、20、10、
30
!"80、20；O 】

　��.96、20、10、40、60、30；T8(7)】
　��.97、20、10、40、100、20；T7(16)】
　��.98、20、10、40、120、10；U5(17)】
　��.99、20、10、50、50、40；W8(7)】
　��.100、20、10、50、80、30；T8(14)】
　��.101、20、10、50、100、20；W7(16)】
　��.102、20、10、30、40、60；P(9、2、3)】
　��.103、20、10、70、70、40；W8(14)】
　��.104、20、10、70、80、30；T6(16)】
　��.105、20、10、80、50、60；T7(12)】
　��.106、20、10、80、60、50；T7(14)】
　��.107、20、10、80、80、20；P(17、1、3)】
　��.108、20、10、100、40、80；T6(13)】
　��.109、20、10、100、50、60；T6(15)】
　��.110、20、10、100、60、30；V7(17)】
　��.111、20、10、110、30、100；W6(12)】
　��.112、20、10、110、40、80；W7(14)】
　��.113、20、10、110、50、40；W6(16)】
　��.114、20、10、120、40、60；U8(16)】
　��.115、20、10、130、30、100；W6(15)】
　��.116、10、20、20、70、10；P(1、1、7)】
　��.117、20、20、30、50、20；T7(4)】

��.118、20、20、30、100、10；T7(17)!
$B![

　��.119、20、20、40、40、30；T6(5)】
　��.120、20、20、40、70、20；O 】
　��.121、20、20、40、100、10；T6(17)】
　��.122、20、20、60、60、30；P(12、2、6)】
　��.123、20、20、70、30、60；V8(8)】
　��.124、20、20、40、40、50；P(9、2、4)】
　��.125、20、20、70、50、40；T8(11)】
　��.126、20、20、70、60、30；T8(14)】
　��.127、20、20、70、70、20；P(16、2、4)】
　��.128、20、20、70、80、10；U8(17)】
　��.129、20、20、80、50、40；P(13、2、5)】
　��.130、20、20、100、30、80；W7(11)】
　��.131、20、20、100、40、50；P(14、2、4)】
　��.132、20、20、100、50、20；W7(16)】
　��.133、20、20、110、30、80；T6(13)】
　��.134、20、20、110、40、30；T6(16)】
　��.135、20、20、120、30、60；P(15、2、3)】
　��.136、20、30、20、60、10；T7(2)】
　��.137、20、30、30、40、20；W7(3)】
　��.138、20、30、30、80、10；T8(0)】
　��.139、20、30、50、30、40；W6(5)】
　��.140、20、30、50、60、20；O 】

��.141、20、30、50、80、10；T7(17!
)】
B

　��.142、20、30、60、60、20；P(15、3、5)】
　��.143、20、30、50、40、40；P(9、2、5)】
　��.144、20、30、80、30、60；T6(9)】
　��.145、20、30、80、40、40；T8(11)】
　��.146、20、30、80、60、10；T6(17)】
　��.147、20、30、100、30、60；T7(12)】
　��.148、20、30、100、40、20；T7(16)】
　��.149、20、30、110、30、40；W8(14)】
　��.150、20、40、20、50、10；T6(2)】
　��.151、20、40、40、30、30；U7(4)】
　��.152、20、40、40、70、10；T8(0)】
　��.153、20、30、50、50、20；P(5、3、5)】
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