Langleyの問題


上の図のように凸四角形ABCDにおいて角a,b,c,dがわかっている時に角xをもとめなさい

という問題で、a,b,c,dが整数の時　xも整数になっているような四角形は全部で31402通り
あるそうです（なかさんによる）

このうち　a,b,c,dが10の倍数である角は352通りあります。（なかさんによる）
この証明を算数のレベルで行い　解答をおよせください。(数値のみはだめですよ　証明の過程を楽しみたいものです）
解答をお寄せいただいたものは正解である限り掲載したいと思います。
また最初に解いた方が出た時にxを下の表に書き込んで行きたいと思います。

解答にはできるだけ　図を添えていただけると私の理解の一助となります。
簡単な図で結構です。こちらで書き直します。

352通りのなかには　次のようなタイプのものは除いております。　

また　ある場合が証明できたときに　次のタイプはうまくだすことができますが
今回は掲載いたしません
１　回転したタイプの問題　　たとえば　a,b,c,d,e,f,g,hの角を回転させると
　　　　　　　　　　　　　　　　　c,d,e,f,g,h,a,bの形の四角形を考える
２　辺を延長して四角形を作るタイプ　たとえば　上の図で　ABとCDの交点をE
　　　　　　　　　　　　　　　　DAとBCの交点をFとすると　DEFAをABCDと読み替える　
１の分類はtomhさんが作成してくれました。このページの最下部に掲載いたしました。

［タイプ１］円に内接するもの、つまり、a=d のもの

次のタイプのものは解答を掲載いたしました。
［タイプ２］２等辺三角形の背中合わせのもの（５２通り）
　　　　　（a=b,b+c=90 または　b+c=90,c=d のもの）

［タイプ３］CA=CB=CDのもの（28通り）
　　　　　（2(a+b)+C=180　かつ　2b+c+ｄ=180 のもの）　　タイプ２との重複4つ

［タイプ4］AB=ACかつ　ｂ＋ｄ＝90のもの（28通り）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タイプ２との重複4つ

［タイプ5］BDとCEが垂直になる点EをAB上に取ると四角形AECDが円に内接するもの(28通り）
　　　　　　a=b　かつ　c+2d=180°　　　　　　　　　　　　タイプ２〜４との重複１０個
　　　　　　　　　　リンデン　さんによる別解あり

[タイプ6]　ありさのお父さんの定理(２通り)　　tomhさんの解法による
　　　　　　a=c=30　かつ　d=2b-30　（b<45）　　　　　　219　と230　の２つ　

[タイプ７]　ABを一辺とする正三角形を描く方法（３通り)　BossF　さんの解法による
a=15+t　かつ　b=45+3t　かつ　c=60-2t　d=30　（ｔ<30）　　　167　195の２つ　タイプ１が１つ

[タイプ8]　ACによる点Bの対称点をとる方法（１通り)　BossF　さんの解法による
b=30-3/2a　かつ　c=30-1/2a　かつ　　d=3/2a　（a<30）　　　167の別解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　tomhさんの解法による　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（30<a<60)　　265の解答　　　　　　　

[タイプ9]　BD=CDであるときBCを一辺とする正三角形を書く方法（１通り)　BossF　さんの解法による
b=60+a　かつ　c=60-a　かつ　　d=2a　（a<30）　　　88　174の別解

[タイプ10]　三角形ABDの外接円を書く方法（3通り)　BossF　さんの解法による
b=3a　かつ　c=90-2a　かつ　　d=30　（a<45）　　　60　167の別解　195の別解

[タイプ11]　三角形ABCの外接円の中心がBD上にある場合（28通り)　リンデン　さんの解法による
ｃ=90-a　かつ　d=2a　　
　　[タイプ11-2]　三角形ABCの外接円の中心がBD上にある場合（2通り)　リンデン　さんの解法による
　　　b=30-a、c=90-a d=30+2a のとき　　f=2a　　　43　103の解法
　　[タイプ11-3]　三角形ABCの外接円の中心がBD上にある場合（2通り)　リンデン　さんの解法による
　　　b=30-a、c=90-a d=4a のとき　　f=30　　　　　　42　104の解法

[タイプ12]　Pが三角形の内心になっっている場合（2通り)　リンデン　さんの解法による

　a=b　かつ　c=d=60-a　　　　　7　119の解法

[タイプ13]　三角形ABCの外接円の中心がAC上にある場合（2通り)　リンデン　さんの解法による
a=30 c=3b-90 d=90-b、のとき　　f=2b-60　　219の別解　　233の解法　

[タイプ14]　ACを一辺とする正三角形の頂点がBDにある場合（2通り)　リンデン　さんの解法による
a=30 c=120-2ｂ d=60+1/2ｂ、のとき　　f=30-1/2b　　206　222の解法　
　　　　 [タイプ14-2]　ACを一辺とする正三角形の頂点がBDにある場合（2通り)　リンデン　さんの解法による
　　　　　　　b=30 c=a+30、d=90-1/2aのとき　　f=1/2a 　　141　270の解法　　
[タイプ15]　たこ型の四角形が２つ組み合わさった場合（4通り)　リンデン　さんの解法による
ｂ=a+60 c=60-a d=30、のとき　　f=a　　89　173　194　207　の解法　

[タイプ16]　BCを一辺とする正三角形ののこりの頂点が辺AD上にある場合（３通り)　リンデン　さんの解法による
ｂ=60-a/3 c=30 d=60+a/3のとき　　f=a/3　　230の別解　　　　320　351　の解法　

[タイプ17]　AB=BC=CDの四角形である場合（２通り)　リンデン　さんの解法による
ｂ=a-60 c=120-a d=180-aのとき　　f=30　　329　342　の解法　

[タイプ18]　PS=PBかつ角PAB=角PBA=30°の場合（4通り)　リンデン　さんの解法による
a=30 c=d=120-b のとき　　f=b-60　　22 130 239 242　　の解法　

[タイプ19]　ABとCDの延長をEとすると　４点　A　P　E　D　が同一円周上にある場合(２通り)　リンデン　さんの解法による
b=30 c=30、d=60-aのとき　　f=a 　　54 137　　の解法　
[タイプ20]　点BをADに関して対称に移動すると三角形BDEが正三角形になる場合(２通り)　ショート　さんの解法による
b=a/3 c=90-2/3a、d=60+1/3aのとき　　f=60-1/3a 　　186　315　　の解法　

[タイプ21]　d-a=eと正三角形を作ることにより角度を出す場合(２通り)　さいと散　さんの解法による
　　21-1　a=30、ｃ=270-3b　d=ｂ-30　のとき　　f=90-b 　240　241　の解法



正18角形を利用して答えを出す方法　（作成中　ですが　公開します）

下のように記号を統一したいと思います。そのほかの記号については自由に作ってください。
たとえば　a+b+c+h=180のように書いてよろしいです。

番　　号 a b c d ｘ 解答者氏名 日時
1 10 10 20 80 10 タイプ４　タイプ５ 2004.10.17
2 10 10 30 40
3 10 10 30 110
4 10 10 40 30
5 10 10 40 70 20 タイプ5 2004.10.17
6 10 10 40 110
7 10 10 50 50 30 タイプ12 2004.11.02
8 10 10 50 80
9 10 10 60 40
10 10 10 60 60 30 タイプ5 2004.10.17
11 10 10 60 80
12 10 10 80 20 70 タイプ２　タイプ11 2004.10.16
13 10 10 80 30 60 タイプ２ 2004.10.16
14 10 10 80 40 50 タイプ２ 2004.10.16
15 10 10 80 50 40 タイプ２　タイプ５ 2004.10.16
16 10 10 80 60 30 タイプ２ 2004.10.16
17 10 10 80 70 20 タイプ２ 2004.10.16
18 10 10 80 80 10 タイプ２ 2004.10.16
19 10 10 100 30
20 10 10 100 40 50 タイプ5 2004.10.17
21 10 10 100 50
22 10 10 110 30 70 タイプ18 2004.11.12
23 10 10 110 40
24 10 10 120 20
25 10 10 120 30 60 タイプ5 2004.10.17
26 10 10 120 40
27 10 10 130 20
28 10 10 130 30
29 10 10 140 20 70 タイプ３　タイプ５ 2004.10.16
30 10 20 20 40
31 10 20 30 70 10 タイプ４ 2004.10.17
32 10 20 40 20
33 10 20 40 40
34 10 20 40 80
35 10 20 50 30
36 10 20 50 50 20 tomhさん 2004.10.20
37 10 20 50 80
38 10 20 70 30
39 10 20 70 40
40 10 20 70 70 10 タイプ２ 2004.10.16
41 10 20 80 20 60 タイプ１１ 2004.10.27
42 10 20 80 40 30 タイプ11-3 2004.12.08
43 10 20 80 50 20 タイプ11-2 2004.12.08
44 10 20 100 20
45 10 20 100 30
46 10 20 100 40
47 10 20 110 20
48 10 20 110 30 30 タイプ21-7 2005.06.10
49 10 20 110 40
50 10 20 120 20 60 タイプ３ 2004.10.16
51 10 20 130 20 30 タイプ21-4 2005.06.10
52 10 30 20 30 10 タイプ6 2004.10.16
53 10 30 30 20
54 10 30 30 50 10 タイプ19 2005.02.10
55 10 30 40 30
56 10 30 40 60 10 タイプ４ 2004.10.17
57 10 30 60 20
58 10 30 60 40
59 10 30 60 60 10 タイプ２ 2004.10.16
60 10 30 70 30 30 タイプ10 2004.10.23
61 10 30 70 40
62 10 30 80 20 50 タイプ11 2004.10.27
63 10 30 80 30
64 10 30 80 50
65 10 30 100 20 50 タイプ３ 2004.10.16
66 10 30 100 30 20 タイプ21-10 2005.06.10
67 10 30 110 20
68 10 30 110 30
69 10 30 120 20
70 10 40 30 40
71 10 40 50 20
72 10 40 50 30
73 10 40 50 50 10 タイプ２　タイプ４ 2004.10.16
74 10 40 80 20 40 タイプ３　タイプ１１ 2004.10.16
75 10 40 80 30
76 10 40 80 40
77 10 40 100 20
78 10 50 40 40 10 タイプ２ 2004.10.16
79 10 50 60 20 30 タイプ３ 2004.10.16
80 10 50 60 40 10 タイプ４ 2004.10.17
81 10 50 80 20 30 タイプ11 2004.10.27
82 10 60 30 30 10 タイプ２ 2004.10.16
83 10 60 40 20 20 タイプ３ 2004.10.16
84 10 60 70 30 10 タイプ４ 2004.10.17
85 10 60 80 20 20 タイプ11 2004.10.27
86 10 70 20 20 10 タイプ２　　タイプ３ 2004.10.16
87 10 70 40 30
88 10 70 50 20 20 BossFさん 2004.10.22
89 10 70 50 30 10 タイプ１５ 2004.10.28
90 10 70 60 20
91 10 70 80 20 10 タイプ４　タイプ11 2004.10.17
92 10 100 30 20
93 10 100 40 20
94 20 10 20 120
95 20 10 30 80 20 タイプ４ 2004.10.17
96 20 10 40 60
97 20 10 40 100
98 20 10 40 120
99 20 10 50 50
100 20 10 50 80
101 20 10 50 100
102 20 10 70 40 60 タイプ11 2004.10.27
103 20 10 70 70 40 タイプ11-2 2004.12.08
104 20 10 70 80 30 タイプ11-3 2004.12.08
105 20 10 80 50
106 20 10 80 60
107 20 10 80 80 20 タイプ２ 2004.10.16
108 20 10 100 40
109 20 10 100 50
110 20 10 100 60
111 20 10 110 30
112 20 10 110 40 80 タイプ21-6 2005.06.10
113 20 10 110 50
114 20 10 120 40 60 タイプ３ 2004.10.16
115 20 10 130 30 100 タイプ21-8 2005.06.10
116 20 20 20 80 10 タイプ5 2004.10.17
117 20 20 30 50
118 20 20 30 100
119 20 20 40 40 30 タイプ12 2004.11.02
120 20 20 40 70 20 タイプ４　タイプ5 2004.10.17
121 20 20 40 100
122 20 20 60 60 30 タイプ5 2004.10.17
123 20 20 70 30 60 タイプ２ 2004.10.16
124 20 20 70 40 50 タイプ２　タイプ11 2004.10.16
125 20 20 70 50 40 タイプ２ 2004.10.16
126 20 20 70 60 30 タイプ２ 2004.10.16
127 20 20 70 70 20 タイプ２ 2004.10.16
128 20 20 70 80 10 タイプ２ 2004.10.16
129 20 20 80 50 40 タイプ5 2004.10.17
130 20 20 100 30 80 タイプ18 2004.11.12
131 20 20 100 40 50 タイプ３　タイプ５ 2004.10.16
132 20 20 100 50
133 20 20 110 30
134 20 20 110 40
135 20 20 120 30 60 タイプ5 2004.10.17
136 20 30 20 60
137 20 30 30 40 20 タイプ19 2005.02.10
138 20 30 30 80
139 20 30 50 30
140 20 30 50 60 20 タイプ４ 2004.10.17
141 20 30 50 80 10 タイプ14-2 2005.02.10
142 20 30 60 60 20 タイプ２ 2004.10.16
143 20 30 70 40 40 タイプ11 2004.10.27
144 20 30 80 30
145 20 30 80 40 40 タイプ３ 2004.10.16
146 20 30 80 60
147 20 30 100 30
148 20 30 100 40
149 20 30 110 30 40 タイプ21-10 2005.06.10
150 20 40 20 50
151 20 40 40 30 30 リンデンさん 2004.10.28
152 20 40 40 70
153 20 40 50 50 20 タイプ２ 2004.10.16
154 20 40 60 40 30 タイプ３ 2004.10.16
155 20 40 60 50 20 タイプ４ 2004.10.17
156 20 40 70 40 30 タイプ11 2004.10.27
157 20 40 80 30
158 20 40 80 50
159 20 40 100 30 30 タイプ21-7 2005.06.10
160 20 50 40 40 20 タイプ２　タイプ３ 2004.10.16
161 20 50 40 60
162 20 50 70 30
163 20 50 70 40 20 タイプ４　タイプ11 2004.10.17
164 20 60 20 40 10 タイプ３ 2004.10.16
165 20 60 30 30 20 タイプ２ 2004.10.16
166 20 60 30 50 10 浮浪　さん　リンデンさん 2004.10.23
167 20 60 50 30 30 ほげ　BossFさん　　BossFさの別解　BossFさんの別解３　 2004.10.16
168 20 60 50 50
169 20 60 70 30
170 20 60 70 40 10 タイプ11 2004.10.27
171 20 60 80 30 20 タイプ４ 2004.10.17
172 20 80 30 40
173 20 80 40 30 20 タイプ15 2004.10.28
174 20 80 40 40 10 BossFさん 2004.10.22
175 20 80 50 30
176 20 100 20 30
177 20 100 40 30 10 タイプ21-9 2004.06.10
178 30 10 20 130
179 30 10 30 100
180 30 10 30 130
181 30 10 40 80 30 タイプ４ 2004.10.17
182 30 10 40 110
183 30 10 60 60 50 タイプ11 2004.10.27
184 30 10 60 80
185 30 10 60 100
186 30 10 70 70 50 タイプ20 2005.03.19
187 30 10 70 80
188 30 10 80 50
189 30 10 80 70
190 30 10 80 80 30 タイプ２ 2004.10.16
191 30 10 100 50 80 タイプ21-3 2005.06.10
192 30 10 100 60 50 タイプ３ 2004.10.16
193 30 10 110 40
194 30 10 110 50 70 タイプ15 2004.10.28
195 30 10 120 40 100 BossFさん　BossFさんの別解 2004.10.20
196 30 20 20 100
197 30 20 30 70
198 30 20 30 110
199 30 20 50 50
200 30 20 50 70 30 タイプ４ 2004.10.17
201 30 20 50 100
202 30 20 60 60 40 タイプ11 2004.10.27
203 30 20 70 70 30 タイプ２ 2004.10.16
204 30 20 80 40
205 30 20 80 60 40 タイプ３ 2004.10.16
206 30 20 80 70 20 タイプ１４ 2004.10.28
207 30 20 100 40 80 タイプ15 2004.10.28
208 30 20 100 50
209 30 20 110 40 70 タイプ21-3 2005.06.10
210 30 30 20 80 10 タイプ5 2004.10.17
211 30 30 40 70 20 タイプ5 2004.10.17
212 30 30 60 40 50 タイプ２ 2004.10.16
213 30 30 60 50 40 タイプ２ 2004.10.16
214 30 30 60 60 30 タイプ２　タイプ３　タイプ４　タイプ5　タイプ11 2004.10.16
215 30 30 60 70 20 タイプ２ 2004.10.16
216 30 30 60 80 10 タイプ２ 2004.10.16
217 30 30 80 50 40 タイプ5 2004.10.17
218 30 30 100 40 50 タイプ5 2004.10.17
219 30 40 30 50 20 ほげ　タイプ６　タイプ13 2004.10.16
220 30 40 30 80
221 30 40 40 60 20 タイプ３ 2004.10.16
222 30 40 40 80 10 タイプ14 2004.10.28
223 30 40 50 50 30 タイプ２ 2004.10.16
224 30 40 60 60 20 タイプ11 2004.10.27
225 30 40 70 40
226 30 40 70 50 30 タイプ４ 2004.10.17
227 30 40 80 40
228 30 40 80 50
229 30 50 20 60 10 タイプ３ 2004.10.16
230 30 50 30 70 10 tomhさん　タイプ16 2004.11.02
231 30 50 40 40 30 タイプ２ 2004.10.16
232 30 50 40 70
233 30 50 60 40 40 タイプ13 2004.11.03
234 30 50 60 60 10 タイプ11 2004.10.27
235 30 50 70 40
236 30 50 80 40 30 タイプ４ 2004.10.17
237 30 70 20 50
238 30 70 30 40
239 30 70 50 50 10 タイプ18 2004.11.12
240 30 70 60 40 20 タイプ21 2005.06.10
241 30 80 30 50 10 タイプ21 2005.06.10
242 30 80 40 40 20 タイプ18 2004.11.12
243 30 100 20 40
244 30 100 30 40 10 タイプ21-2 2005.06.10
245 40 10 30 110
246 40 10 50 80 40 タイプ４　タイプ11 2004.10.17
247 40 10 50 100
248 40 10 50 110
249 40 10 80 60
250 40 10 80 70
251 40 10 80 80 40 タイプ２　タイプ３ 2004.10.16
252 40 10 100 60
253 40 20 20 110
254 40 20 40 70
255 40 20 40 110
256 40 20 50 80 30 タイプ11 2004.10.27
257 40 20 60 70 40 タイプ４ 2004.10.17
258 40 20 60 80 30 タイプ３ 2004.10.16
259 40 20 70 70 40 タイプ２ 2004.10.16
260 40 20 80 50
261 40 20 80 70
262 40 20 100 50 70 タイプ21-6 2005.06.10
263 40 30 30 70
264 40 30 30 100
265 40 30 40 60 30 タイプ8 2004.11.03
266 40 30 40 80 20 タイプ３ 2004.10.16
267 40 30 50 80 20 タイプ11 2004.10.27
268 40 30 60 60 40 タイプ２ 2004.10.16
269 40 30 70 60 40 タイプ４ 2004.10.17
270 40 30 70 70 20 タイプ14-2 2005.02.10
271 40 30 80 50
272 40 30 80 60
273 40 40 20 80 10 タイプ３　タイプ５ 2004.10.16
274 40 40 40 70 20 タイプ5 2004.10.17
275 40 40 50 50 40 タイプ２ 2004.10.16
276 40 40 50 60 30 タイプ２ 2004.10.16
277 40 40 50 70 20 タイプ２ 2004.10.16
278 40 40 50 80 10 タイプ２　タイプ11 2004.10.16
279 40 40 60 60 30 タイプ5 2004.10.17
280 40 40 80 50 40 タイプ４　タイプ５ 2004.10.17
281 40 60 30 70
282 40 60 50 50
283 40 70 20 60
284 40 70 30 50
285 40 70 40 60
286 40 70 50 50
287 50 10 40 100 30 タイプ11 2004.10.27
288 50 10 60 80 50 タイプ４ 2004.10.17
289 50 10 60 100 30 タイプ３ 2004.10.16
290 50 10 80 80 50 タイプ２ 2004.10.16
291 50 20 40 80
292 50 20 40 100 20 タイプ３　タイプ11 2004.10.16
293 50 20 70 70 50 タイプ２　タイプ４ 2004.10.16
294 50 20 70 80
295 50 30 20 100 10 タイプ３ 2004.10.16
296 50 30 30 80
297 50 30 40 70
298 50 30 40 100 10 タイプ11 2004.10.27
299 50 30 60 60 50 タイプ２ 2004.10.16
300 50 30 60 80
301 50 30 70 70
302 50 30 80 60 50 タイプ４ 2004.10.17
303 50 50 20 80 10 タイプ5 2004.10.17
304 50 50 40 60 30 タイプ２ 2004.10.16
305 50 50 40 70 20 タイプ２　タイプ５ 2004.10.16
306 50 50 40 80 10 タイプ２ 2004.10.16
307 50 50 60 60 30 タイプ5 2004.10.17
308 60 10 30 120 20 タイプ11 2004.10.27
309 60 10 40 120 20 タイプ３ 2004.10.16
310 60 10 70 80 60 タイプ４ 2004.10.17
311 60 10 80 80 60 タイプ２ 2004.10.16
312 60 20 20 120 10 タイプ３ 2004.10.16
313 60 20 30 100
314 60 20 30 120 10 タイプ11 2004.10.27
315 60 20 50 80 40 タイプ20 2005.03.19
316 60 20 50 100
317 60 20 70 70 60 タイプ２ 2004.10.16
318 60 20 70 80
319 60 20 80 70 60 タイプ４ 2004.10.17
320 60 40 30 80 20 タイプ16 2004.10.28
321 60 40 50 80
322 60 60 20 80 10 タイプ5 2004.10.17
323 60 60 30 70 20 タイプ２ 2004.10.16
324 60 60 30 80 10 タイプ２ 2004.10.16
325 60 60 40 70 20 タイプ5 2004.10.17
326 70 10 20 140 10 タイプ３　タイプ11 2004.10.16
327 70 10 40 110
328 70 10 50 100
329 70 10 50 110 30 タイプ17 2004.11.09
330 70 10 60 100
331 70 10 80 80 70 タイプ２　タイプ４ 2004.10.16
332 70 30 20 110
333 70 30 30 110
334 70 30 50 80
335 70 30 60 80
336 70 40 20 100
337 70 40 30 100
338 70 40 40 80
339 70 40 50 80
340 70 70 20 80 10 タイプ２　タイプ５ 2004.10.16
341 80 20 30 110
342 80 20 40 100 30 タイプ17 2004.11.09
343 80 20 40 110
344 80 20 50 100
345 80 30 30 100
346 80 30 40 100
347 100 10 30 130
348 100 10 40 120
349 100 20 20 130
350 100 20 40 110 30 タイプ21-4 2005.06.10
351 100 30 20 120 10 タイプ16 2004.10.28
352 100 30 30 110


回転によるクラス分け

全部で103クラスあります。
4個含むクラスが75個、2個含むクラスが24個、単独で1個のものが4個です。

クラス番号の後に書いてあるのは、上の表の番号です。

これに、証明のタイプを重ね合わせると、見事に法則性が出てきます。

class:
1: 1 29 91 326
2: 2 27 177 349
3: 3 28 68 180
4: 4 24 244 351
5: 5 25 170 314
6: 6 26 49 98
7: 7 22 239 333
8: 8 23 158 255
9: 9 19 285 337
10: 10 20 234 298
11: 11 21 146 201
12: 12 340
13: 13 324
14: 14 306
15: 15 278
16: 16 216
17: 17 128
18: 18
19: 30 93 115 347
20: 31 84 114 309
21: 32 111 243 352
22: 33 112 174 343
23: 34 76 113 248
24: 35 108 241 346
25: 36 109 168 316
26: 37 64 110 185
27: 38 105 281 321
28: 39 106 232 300
29: 40 107
30: 41 102 322 325
31: 42 103 222 270
32: 43 104 141 206
33: 44 99 286 336
34: 45 100 228 264
35: 46 101 121 132
36: 47 96 240 332
37: 48 97 148 198
38: 50 95 171 312
39: 51 69 94 178
40: 52 92 195 348
41: 53 176 193 350
42: 54 89 194 329
43: 55 172 191 344
44: 56 80 192 289
45: 57 188 283 339
46: 58 161 189 294
47: 59 190
48: 60 186 230 301
49: 61 152 187 261
50: 62 183 303 307
51: 63 184 220 272
52: 65 181 236 295
53: 66 118 134 182
54: 67 159 179 253
55: 70 87 252 330
56: 71 237 249 335
57: 72 166 250 318
58: 73 251
59: 74 246 273 280
60: 75 138 208 247
61: 77 149 196 245
62: 78 290
63: 79 229 288 302
64: 81 210 218 287
65: 82 311
66: 83 164 310 319
67: 85 116 135 308
68: 86 331
69: 88 150 262 328
70: 90 136 209 327
71: 117 133 175 341
72: 119 130 242 345
73: 120 131 163 292
74: 122 129 224 267
75: 123 323
76: 124 305
77: 125 277
78: 126 215
79: 127
80: 137 173 207 342
81: 139 204 284 338
82: 140 155 205 258
83: 142 203
84: 143 202 274 279
85: 144 199 282 320
86: 145 200 226 266
87: 147 169 197 313
88: 151 238 260 334
89: 153 259
90: 154 221 257 269
91: 156 211 217 256
92: 157 235 254 296
93: 160 293
94: 162 227 263 291
95: 165 317
96: 167 219 271 315
97: 212 304
98: 213 276
99: 214
100: 223 268
101: 225 233 265 297
102: 231 299
103: 275