120000アクセス記念問題　（2月8日〜）

上の四角の中に０から９までの数を１つづつ入れて和が２００５になるようにします。
ただし同じ数は２回使えません。うまく数字が入る答は168通りあります。
四角は９個なので数字は１つあまりますが、式を完成させたときに　どんなときも必ず
使われる数字をすべて足すといくらでしょうか。


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解答1なかさん

十進数とその各位の和を９で割った余りは等しい。２００５を９で割った余
りは７なので、□９個の和を９で割った余りも７である。一方、数字１０個全
部足すと４５と９で割り切れる。したがって、異なる数字９個の和を９で割っ
た余りが７になるためには、「２」を余すしかない。つまり、□９個の和は、
４５−２＝４３である。

解答2

明らかに４桁の数の1000の位の数は１です

１の位の合計は　5または15または25です。　
　１の位の最低の和は　0+2+3=5で　最高の和は　9+8+7=24ですから１の位の数は５または１５
1の位の和が5のとき
　　10の位の数の和は10または20
　　　　１０の位の数の和が１０のとき　100の位の数の和は9　
　　　　　　このとき各位の数の総和は　5+10+9+1=25　で　１から９までの和が45であるから1つを除いて25にはならない
　　　　10の位の数の和が20のとき　100の位の数の和は8
　　　　　　このとき各位の数の総和は　5+20+8+1=34で１から９までの和が45であるから1つを除いて25にはならない
よって　１の位の合計は15になっています

10の位の合計は　（1の位から１あがってくることを考えて)　9または　19です(3つの数の和は１の位で考えたように9から24の間です）
　
その１　10の位の和が9のとき
　100の位の和は（10の位の数から　１上がってくることを考えて）9です。
すると　各位の数の和は　1の位15　10の位　9　100の位　9　1000の位　１　であり
すべての数を足すと　15+9+9+1=34です　
ところが　１から９までの数の和が45ですから　どの数を除いても34にはなりません

その２　10の位の和が19のとき
　100の位の和は（10の位の数から　２上がってくることを考えて）８です。
すると　各位の数の和は　1の位15　10の位　19　100の位　8　1000の位　１　であり
すべての数を足すと　15+19+8+1=43です　
ところが　１から９までの数の和が45ですから　使われない数は　２であることがわかります。

実際　４桁の数の最小は　1034で　1034+875+96=2005のように２が使われない解答がありますから　答は２のみなのです。
（４桁の最大の数は1598となっています。）

以上から　２を除く数字が常につかわれていることがわかり　必ず使う数の和は　45-2=43となります。（１から９までの和は45ですから)