上の図のように半径が６cmの円A 半径が４cmの円B 半径が2cmの円Cが互いに外接しています。
円Aと円Bの接点をP 円Bと円Cの接点をQ 円Cと円Aの接点をRとします。
点P,Q,Rを通る円をDを描きます。
図の赤の斜線部分の面積と 青の斜線部分の面積の差はいくらになるでしょうか。
解答
円Aの中心を点Aとします（同じ文字でも混乱しないと思います）
円Aの点Pでの接線と 点Rでの接線の交点をOとします。
三角形APOと三角形AROは合同ですから OP=OR
円Bでも同様に考えると OP=OQ
よって Oは円Dの中心であることがわかります。（実は 三角形ABCの内心になっています）
三角形ABCは AB=10cm BC=6cm CA=8cmですから
３：４：５の直角三角形で その面積は 1/2×6×8=24cm^2となります。
円Dの半径をaとすると 三角形ABCの面積は
三角形ABO+三角形BCO+三角形CAO
=1/2×(AB+BC+CA)×a=1/2×24a=12a cm^2ですから a=2であることがわかります。
円で区切られる面積を上のように名前をつけます
求める差は
①+⑤+⑦-③となっていますがこれを次のように読み替えていきます
①+⑤+⑦-③=(①+②+④+⑤+⑥+⑦)-(②+④+⑥+③)
=円A+円B+円C-円D
=円A+円B
よって面積の差は A+B=36×3.14＋16×3.14=52×3.14=163.28
この問題作成のもとになったのが
http://ha3.seikyou.ne.jp/home/okabayashi/sansu/J/J-a22.htm
です。
CDさんのこの問題を見たときに作成しました。
そのとき C-Dさんに ３：４：５の三角形の提示の仕方がおもしろいので
いつか 自分でもつかってやろうといったのを覚えているでしょうか。（*^_^*）